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Laquelle des matrices suivantes est asymétrique ? (A) La matrice 10, moins neuf, moins deux, moins neuf, moins deux, moins cinq, moins deux, moins cinq, quatre. (B) La matrice trois, moins cinq, moins deux, cinq, moins trois, un, deux, moins un, trois. (C) La matrice zéro, moins trois, moins cinq, trois, zéro, 10, cinq, moins 10, zéro. Ou (D) la matrice zéro, moins un, moins neuf, un, zéro, moins six, neuf, six, sept.
Commençons par rappeler ce que signifie pour une matrice d’être asymétrique. Une matrice est asymétrique si sa transposée est égale à l’opposée de cette matrice. Cela n’est possible que pour les matrices carrées, car la matrice et sa transposée doivent avoir les mêmes dimensions. Une propriété des matrices asymétriques est que l’élément 𝑎 indice 𝑗 indice 𝑖 doit être égal à l’opposé de l’élément 𝑎 indice 𝑖 indice 𝑗 pour tout 𝑖 et 𝑗. Les quatre matrices que nous avons données en options ont chacune trois lignes et trois colonnes. Donc, ce sont chacune des matrices carrées d’ordre trois. Pour trouver quelle matrice est asymétrique, trouvons la transposée de chacune.
Nous le faisons en échangeant les lignes et les colonnes de chaque matrice. Ainsi, la première colonne de chaque matrice deviendra la première ligne de sa transposée. Regardons d’abord l’option (A). Nous pouvons trouver utile d’écrire chaque colonne dans une couleur différente. Dans la matrice transposée, la première colonne devient la première ligne, la deuxième colonne devient la deuxième ligne et la troisième colonne devient la troisième ligne. Ainsi, pour l’option (A), la matrice transposée est égale à la matrice 10, moins neuf, moins deux, moins neuf, moins deux, moins cinq, moins deux, moins cinq, quatre.
Maintenant, en fait, cette matrice est exactement égale à la matrice d’origine. Chaque élément de la matrice transposée est égal à l’élément situé dans la même position dans la matrice elle-même. Cela signifie que la matrice 𝐴 a la propriété 𝐴 transposée égale 𝐴 et est donc ce qu’on appelle une matrice symétrique. Nous cherchons cependant une matrice asymétrique. Alors, considérons la matrice 𝐵.
Encore une fois, nous pouvons écrire chaque colonne dans une couleur différente pour nous aider à trouver la transposée. En échangeant les lignes et les colonnes, nous constatons que la transposée de la matrice 𝐵 est la matrice trois, cinq, deux, moins cinq, moins trois, moins un, moins deux, un, trois. Maintenant, rappelez-vous que nous recherchons pour chaque élément de la matrice transposée, l’opposé de l’élément correspondant dans la matrice d’origine afin que la matrice soit asymétrique. Cela est vrai pour certains éléments, mais pas pour tous les éléments. Les éléments de la diagonale sont en fait les mêmes dans la matrice d’origine et dans sa transposée. Donc ici, la transposée de B n’est pas égale moins 𝐵.
Considérons maintenant l’option (C). Trouver la transposée de cette matrice donne la matrice zéro, trois, cinq, moins trois, zéro, moins 10, moins cinq, 10, zéro. Maintenant, si nous factorisons cette matrice par moins un, nous obtenons moins la matrice zéro, moins trois, moins cinq, trois, zéro, 10, cinq, moins 10, zéro. C’est exactement l’opposée de la matrice d’origine. Donc, nous avons trouvé que la transposée de 𝐶 est égale à moins 𝐶, ce qui signifie que cette matrice est asymétrique.
Nous pensons alors avoir trouvé la réponse, mais nous devons vérifier l’option (D) car elle pourrait également être asymétrique. Encore une fois, nous utiliserons des couleurs pour les différentes colonnes de la matrice 𝐷 pour nous aider à trouver la transposée, qui est égale à la matrice zéro, un, neuf, moins un, zéro, six, moins neuf, moins six, sept. Cette fois, nous constatons que chaque élément de la matrice transposée est égal à l’opposé de l’élément correspondant dans la matrice d’origine, à une exception près. L’élément de la troisième ligne et de la troisième colonne est le même dans les matrices d’origine et sa transposée ; ce n’est pas l’opposée de la matrice. Et donc, la matrice 𝐷 n’est pas asymétrique.
En fait, les options (B) et (D) révèlent quelque chose d’utile, à savoir qu’une matrice ne peut être asymétrique que si tous les éléments de sa diagonale sont égaux à zéro. Lorsque nous trouvons la transposée d’une matrice carrée, les éléments de la diagonale principale ne changent pas. Et ainsi, la seule façon dont ils peuvent être égaux à leurs propres opposés s’ils sont égaux à zéro. Nous pouvons voir que dans l’option (C) les trois éléments de la diagonale sont en effet tous égaux à zéro, ce qui n’est le cas pour aucune des autres matrices. Cela ne nous suffirait pas pour conclure que l’option (C) était la bonne réponse, mais il nous suffirait d’exclure les autres.
Parmi les quatre options proposées, la seule matrice asymétrique est la matrice 𝐶, la matrice zéro, moins trois, moins cinq, trois, zéro, 10, cinq, moins 10, zéro.
