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Vidéo question :: Déterminer la distance perpendiculaire entre un point sur un cercle et un autre sur une corde Mathématiques • Troisième préparatoire

Le segment 𝐴𝐵 est une corde dans le cercle de centre 𝑀 de rayon 25,5 cm. Si 𝐴𝐵 = 40,8 cm, quelle est la longueur du segment 𝐷𝐸 ?

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Transcription de la vidéo

Le segment 𝐴𝐵 est une corde dans le cercle de centre 𝑀 de rayon 25,5 centimètres. Si la longueur de 𝐴𝐵 est de 40,8 centimètres, quelle est la longueur du segment 𝐷𝐸 ?

Le segment 𝐷𝐸 est le segment surligné en orange. C’est le segment qui relie le point 𝐷, qui se trouve à l’intérieur du cercle, au point 𝐸 sur la circonférence du cercle. Notez que ceci est un segment de la droite 𝑀𝐸, qui relie le centre du cercle au point sur la circonférence, et est donc un rayon du cercle. La longueur du segment 𝑀𝐸 est alors de 25,5 centimètres car il s’agit du rayon du cercle donné dans la question.

Nous pourrions donc calculer la longueur du segment 𝐷𝐸 en soustrayant la longueur de 𝑀𝐷 de 𝑀𝐸. Nous devons donc réfléchir à la façon dont nous pourrions calculer la longueur de 𝑀𝐷. Traçons une ligne reliant les points 𝑀 et 𝐵 ensemble. 𝑀 est le centre du cercle. Et 𝐵 est un point sur la circonférence. C’est l’extrémité de notre corde 𝐴𝐵. Et donc, 𝑀𝐵 est le rayon du cercle, ce qui signifie que sa longueur est de 25,5 centimètres comme indiqué dans la question.

Nous avons maintenant un triangle rectangle, le triangle 𝑀𝐷𝐵. Et nous connaissons la longueur de l’hypoténuse. On nous dit également dans la question que la longueur de la corde 𝐴𝐵 est de 40,8 centimètres. Et nous pouvons utiliser cette information pour calculer la longueur du segment 𝐵𝐷.

Nous savons que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle. Maintenant, la droite 𝑀𝐷 ou 𝑀𝐸 passe par le centre du cercle. Elle passe par le point 𝑀. Et à partir de la figure, nous savons qu’elle rencontre la corde 𝐴𝐵 en formant un angle droit. Par conséquent, par la réciproque de cette affirmation, il doit s’agir de la médiatrice de la corde 𝐴𝐵. Donc, cela nous dit que les longueurs de 𝐷𝐵 et 𝐷𝐴 sont égales car la corde a été divisée en deux. On peut donc trouver chacune de ces longueurs en divisant par deux la longueur de la corde 𝐴𝐵. 40,8 divisé par deux est 20,4.

Nous connaissons maintenant deux des longueurs de notre triangle rectangle. Nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore afin de déterminer la troisième longueur 𝑀𝐷, qui est l’un des deux côtés les plus courts. Le théorème de Pythagore nous dit que, dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse. Dans notre triangle, cela signifie que 𝑀𝐷 au carré plus 20,4 au carré est égal à 25,5 au carré. Et nous pouvons résoudre cette équation pour trouver la longueur de 𝑀𝐷. 20,4 au carré est 416,16. Et 25,5 au carré est 650,25. La soustraction de 416,16 de chaque membre de cette équation donne que 𝑀𝐷 au carré est égal à 234,09.

Pour trouver la valeur de 𝑀𝐷, nous devons prendre la racine carrée de chaque membre de cette équation, en ne prenant que la racine carrée positive car 𝑀𝐷 est une longueur. Nous avons que 𝑀𝐷 est égal à la racine carrée de 234,09, qui est 15,3.

Alors maintenant que nous avons calculé la longueur de 𝑀𝐷, nous pouvons revenir à notre calcul pour la longueur de 𝐷𝐸, que nous avons dit que nous allions calculer en soustrayant la longueur de 𝑀𝐷 de 𝑀𝐸, qui était le rayon du cercle. En substituant les longueurs de 𝑀𝐸, 25,5 et 𝑀𝐷, 15,3, nous avons que la longueur de 𝐷𝐸 est égale à 25,5 moins 15,3, ce qui donne 10,2. Les unités pour ceci sont des centimètres car le rayon du cercle a également été donné en centimètres.

Donc, en rappelant que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle, puis en appliquant le théorème de Pythagore, nous avons constaté que la longueur du segment 𝐷𝐸 est de 10,2 centimètres.

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