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Vidéo de question : Calculer les dérivées des fonctions composées impliquant des racines étant donné la valeur d’une fonction et sa dérivée en un point Mathématiques

Sachant que 𝑦 = √ ((𝑥)), 𝑓 ′(4) = 2 et 𝑓(4) = 7, calculez d𝑦 / d𝑥 en 𝑥 = 4.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑦 est égal à la racine carrée de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 prime calculé en quatre est égal à deux et 𝑓 calculé en quatre est égal à sept, calculez d𝑦 sur d𝑥 en 𝑥 est égal à quatre.

Nous devons déterminer la valeur de d𝑦 sur d𝑥 lorsque 𝑥 est égal à quatre. On nous dit que 𝑦 est égal à la racine carrée de 𝑓 de 𝑥. Rappelez-vous, d𝑦 sur d𝑥 sera la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Donc, nous devons trouver une expression pour la dérivée de la racine carrée de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Une façon de faire cela est de remarquer que 𝑦 est donné comme la composition de deux fonctions ; prenons la racine carrée de 𝑓 de 𝑥. Ainsi, nous allons pouvoir calculer cette dérivée en utilisant la règle de chaîne, et cela va fonctionner.

Cependant, il existe une autre méthode. Nous devons noter que nous pouvons réécrire cette expression en utilisant nos lois des exposants. Nous savons que la racine carrée de 𝑎 est égale à 𝑎 à la puissance un demi. Ainsi, nous pouvons réécrire notre expression pour 𝑦 comme 𝑓 de 𝑥 le tout élevé à la puissance un demi. Maintenant, nous avons une fonction élevée à la puissance d’une constante, nous pouvons donc en calculer la dérivée en utilisant la règle générale de dérivation d’une puissance. Nous rappelons que la règle générale de dérivation d’une puissance nous dit pour toute constante 𝑘 et fonction dérivable 𝑔 de 𝑥, la dérivée de 𝑔 de 𝑥 le tout élevé à la puissance 𝑘 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑘 fois 𝑔 prime de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥 le tout élevé à la puissance 𝑘 moins un.

Cependant, dans ce cas, nous pourrions nous inquiéter de quelque chose. Nous voulons que 𝑔 de 𝑥 soit notre fonction interne 𝑓 de 𝑥. Mais pour utiliser la règle générale de dérivation d’une puissance, il faut que 𝑓 de 𝑥 soit dérivable et nous ne savons pas si 𝑓 est dérivable. Cependant, on nous dit dans la question que 𝑓 prime de quatre est égal à deux. Donc, nous savons que 𝑓 est dérivable lorsque 𝑥 est égal à quatre. Nous pouvons donc appliquer la règle générale de dérivation d’une puissance pour 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est égal à quatre.

Nous sommes maintenant prêts à trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Nous devons calculer la dérivée de 𝑓 de 𝑥 le tout élevé à la puissance un demi par rapport à 𝑥. Nous le ferons en utilisant la règle générale de dérivation d’une puissance. Nous fixons 𝑘 égal à un demi et 𝑔 de 𝑥 égal à 𝑓 de 𝑥. Cela nous donne un demi fois 𝑓 prime de 𝑥 multipliée par 𝑓 de 𝑥 le tout élevé à la puissance de un demi moins un.

Et cela vaut la peine de le répéter, pour utiliser la règle générale de dérivation d’une puissance, nous avons besoin que 𝑓 de 𝑥 soit dérivable. Et dans la question, la seule valeur de 𝑥 pour laquelle nous savons 𝑓 de 𝑥 est dérivable est 𝑥 est égal à quatre. Ainsi, le seul moment où nous pouvons garantir que cette formule fonctionnera est lorsque 𝑥 est égal à quatre. Heureusement, c’est tout ce dont nous avons besoin pour répondre à notre question. Avant de faire cela, nous pouvons simplifier. Pour commencer, nous pouvons simplifier l’exposant un demi moins un égal à moins un demi. Et puis, nous ferons une autre simplification. Nous savons que, en utilisant notre loi des exposants, 𝑎 élevé à la puissance moins un demi est la même chose que un divisé par la racine carrée de 𝑎. Ainsi, en utilisant cela, nous pouvons simplifier notre expression pour que d𝑦 sur d𝑥 soit égal à 𝑓 prime de 𝑥 divisé par deux fois la racine carrée de 𝑓 de 𝑥.

Et maintenant, nous sommes prêts à trouver d𝑦 sur d𝑥 lorsque 𝑥 est égal à quatre. Nous avons juste besoin de remplacer 𝑥 est égal à quatre dans cette expression pour d𝑦 sur d𝑥, et nous savons que cela est valable lorsque 𝑥 est égal à quatre. En utilisant 𝑥 est égal à quatre dans cette expression, on obtient d𝑦 sur d𝑥 quand 𝑥 est égal à quatre qui est égal à 𝑓 prime de quatre divisé par deux fois la racine carrée de 𝑓 de quatre. Et, bien sûr, dans la question, on nous dit que 𝑓 prime calculé en quatre est égal à deux et 𝑓 calculé en quatre est égal à sept. Nous allons donc les remplacer dans cette expression.

Ainsi, en remplaçant 𝑓 prime de quatre est égal à deux et 𝑓 de quatre est égal à sept, nous obtenons deux divisé par deux fois la racine carrée de sept. Et, bien sûr, nous pouvons simplifier. Nous pouvons simplifier le facteur commun de deux au numérateur et au dénominateur pour nous donner un divisé par la racine carrée de sept. Et nous pourrions laisser notre réponse comme étant un divisé par la racine carrée de sept. Cependant, nous pouvons simplifier cela en rendant rationnel notre dénominateur. Nous multiplions notre numérateur et notre dénominateur par la racine carrée de sept. Et cela nous laisse avec notre réponse finale de racine carrée de sept divisée par sept.

Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝑦 est égal à la racine carrée de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 prime calculé en quatre est égal à deux et 𝑓 de quatre est égal à sept, alors d𝑦 sur d𝑥 en 𝑥 égal quatre doit être égal à la racine carrée de sept divisé par sept.

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