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Vidéo de question : Une échelle repose en équilibre entre un sol lisse et un mur vertical lisse avec une corde attachée à son extrémité inférieure Mathématiques

Une échelle 𝐴𝐵 pesant 40√3 kg-poids et longueur de 5 m repose sur un plan vertical avec une extrémité 𝐵 sur un sol lisse et une extrémité 𝐴 contre un mur vertical lisse. L’extrémité 𝐵 est attachée par une corde à un point du sol situé verticalement au-dessous de 𝐴. Étant donné que 𝐵 est à 2,5 m du mur, et que le poids de l’échelle agit en un point de l’échelle à 2 m du point 𝐵, déterminez la tension dans la corde.

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Transcription de vidéo

Une échelle 𝐴𝐵 pesant 40 racines de trois kilogrammes poids et de longueur de cinq mètres repose sur un plan vertical avec une extrémité 𝐵 sur un sol lisse et une extrémité 𝐴 contre un mur vertical lisse. L’extrémité 𝐵 est attachée par une corde à un point du sol situé verticalement au-dessous de 𝐴. Étant donné que 𝐵 est à 2,5 mètres du mur, et que le poids de l’échelle agit en un point de l’échelle à deux mètres de 𝐵, déterminez la tension dans la corde.

Avant de procéder à des calculs, nous allons commencer par faire un schéma. C’est une esquisse très simple de la situation qui montre toutes les forces qui nous intéressent. Voici une échelle d’une longueur de cinq mètres reposant sur le mur vertical lisse. Nous ne connaissons pas l’angle que l’échelle fait avec l’horizontal, mais nous allons devoir le calculer à un moment donné. Appelons-le donc 𝜃. On nous dit que l’extrémité 𝐵 est attachée par une corde à un point du sol verticalement en dessous de 𝐴. Ceci signifie que nous devons ajouter une force de tension 𝑇 au schéma comme indiqué. Ensuite on nous dit que 𝐵 est à 2,5 mètres du mur. Maintenant ceci sera utile dans un instant car nous allons pouvoir utiliser la trigonométrie avec l’angle droit pour calculer la valeur de 𝜃.

On nous dit ensuite que le poids de l’échelle agit en un point de l’échelle à deux mètres de 𝐵. Il s’agit donc d’une force vers le bas de 40 racines de trois kilogrammes-poids. Il y a deux autres forces qui nous intéressent. Avec la troisième loi de Newton nous savons que puisque l’échelle exercera une force sur le sol et le mur, il y aura des forces de réaction normales du sol et du mur sur l’échelle, respectivement. Appelons-les 𝑅 indice 𝐵 et 𝑅 indice 𝐴. Nous avons maintenant toutes les informations clés et nous essayons de trouver la tension dans la corde. Nous l’avons appelée 𝑇. Laissons un peu d’espace.

Alors que faisons-nous ensuite ? Eh bien, nous savons que l’échelle est au repos dans sa position. Et nous pouvons donc supposer qu’elle est en équilibre. Pour qu’un objet rigide tel que cette échelle soit en équilibre, deux conditions doivent être remplies. Premièrement, la somme de toutes les forces agissant sur l’objet doit être égale à zéro. Nous les décomposons souvent en forces horizontales et verticales telles que la somme des forces horizontales est nulle et la somme des forces verticales est nulle. Nous pouvons également dire que la somme de tous les moments agissant sur l’objet doit être égale à zéro, où le moment est calculé en trouvant le produit de la force 𝐹 et de la distance 𝑑, avec 𝑑 la distance perpendiculaire à la droite d’action de la force à partir du point autour duquel l’objet essaie de tourner.

Comme pour les forces, nous donnons également une direction à nos moments. Cette fois, ce sont dans le sens horaire et antihoraire. Commençons donc par trouver la somme des forces sur notre schéma. Nous essayons de calculer la tension. Et nous ne sommes vraiment pas du tout intéressés par 𝑅 indice 𝐵. Commençons donc par calculer la somme des forces horizontales. Prenons la direction dans laquelle la force de tension agit pour être positive. Ensuite nous avons 𝑅 indice 𝐴 agissant dans l’autre sens. Ainsi la somme des forces dans une direction horizontale est 𝑇 moins 𝑅 indice 𝐴. Et cela, bien sûr, sera égal à zéro.

Ensuite, nous allons prendre des moments autour 𝐵. Maintenant nous pouvons prendre des moments par rapport à n’importe quel point de l’échelle, bien que nous choisissions souvent le pied de l’échelle car il y a plus de forces qui y agissent. En fait, il y a deux forces que nous allons examiner, et c’est la force vers le bas du poids et la force de réaction en 𝐴. Mais rappelez-vous, nous avons dit que le moment était calculé en multipliant la force par sa distance perpendiculaire depuis le pivot. Et nous allons donc devoir décomposer ces forces en leurs composantes qui agissent perpendiculairement sur l’échelle. Nous pouvons ajouter des triangles rectangles comme indiqué avec un angle de 𝜃. Nous devons donc ensuite calculer la valeur de 𝜃.

En agrandissant simplement le contour du sol, du mur et de l’échelle, nous voyons que nous pouvons utiliser la trigonométrie de l’angle droit. Nous avons un côté adjacent de 2,5 mètres et une hypoténuse de cinq. Et donc nous utilisons le rapport du cosinus. Le cosinus de 𝜃 est adjacent sur l’hypoténuse. Dans notre triangle, cela donne cosinus de 𝜃 est 2,5 divisé par cinq. Mais 2,5 divisé par cinq est égal à un demi. Et puisque nous savons que cosinus de 60 est égal à un demi, 𝜃 doit être égal à 60 degrés. Nous pouvons donc ajouter 60 degrés à la place de 𝜃. Et nous sommes prêts à commencer à calculer les composantes de notre poids et de notre force de réaction qui sont perpendiculaires à l’échelle.

Commençons par la composante du poids. Nous agrandissons un peu ce triangle. Appelons la composante que nous essayons de trouver 𝑥. 𝑥 est le côté adjacent de notre triangle, alors que l’hypoténuse est cette 40 racine de trois kilogrammes-poids. Nous pouvons donc utiliser à nouveau le rapport du cosinus pour trouver la valeur de 𝑥. Nous obtenons cosinus de 60 est 𝑥 sur 40 racine de trois. Mais rappelez-vous, le cosinus de 60 degrés est un demi. Alors résolvons cette équation en multipliant les deux membres par 40 racine trois. Un demi fois 40 racine trois donne 20 racine trois. Ainsi la composante de la force du poids qui agit perpendiculairement à l’échelle est 20 racine de trois kilogrammes-poids.

Alors quel est le moment de cette force ? Nous allons dire que c’est négatif, puisque nous avons choisi la direction positive pour le sens antihoraire. C’est moins 20 racine trois fois la distance par rapport à ce pivot, cela donne deux. Nous allons maintenant répéter ce processus pour 𝑅 indice 𝐴. Appelons la composante de cette force que nous essayons de trouver 𝑦. Cette fois, 𝑦 est le côté opposé de notre triangle. Et nous avons une expression pour l’hypoténuse. Le rapport trigonométrique qui les relie est le rapport du sinus. Remplaçons donc ce que nous savons de notre triangle dans cette formule.

Lorsque nous le faisons, nous obtenons que sinus de 60 égal à 𝑦 sur 𝑅 indice 𝐴. En fait, le sinus de 60 est la racine de trois sur deux. Multiplions donc les deux membres de cette équation par 𝑅 indice 𝐴 pour trouver une expression de 𝑦. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 𝑦 est égal à la racine de trois sur deux fois 𝑅 indice 𝐴. Maintenant, avant de calculer le moment, revenons à la première équation que nous avons écrite. Si nous ajoutons 𝑅 indice 𝐴 aux deux membres, nous trouvons que 𝑇 est égal à 𝑅 indice 𝐴. Maintenant c’est vraiment utile car si nous remplaçons 𝑅 indice 𝐴 par 𝑇, nous trouvons que 𝑦 est égal à la racine de trois sur deux 𝑇. Et quand nous complétons l’équation qui montre que la somme de nos moments est égale à zéro, nous allons avoir une équation purement en fonction de 𝑇.

Le moment de cette force est, donc, racine de trois sur deux 𝑇 fois la distance jusqu’au pivot, soit cinq. Et bien sûr, nous savons que la somme de ces moments est nulle. Nous devons résoudre cette équation pour trouver 𝑇, donc la première chose que nous allons faire est de diviser par racine de trois. Lorsque nous faisons ceci, notre équation devient moins 40 plus cinq sur deux 𝑇 égal à zéro. Nous pouvons ajouter 40 aux deux membres, et notre dernière étape sera de diviser par cinq sur deux. Ceci revient à diviser par cinq et à multiplier par deux. 40 divisé par cinq sur deux donne 16. Nous avons donc calculé la tension dans la corde. Nous savons que nos unités pour la force dans cette question sont les kilogrammes-poids. La tension est donc de 16 kilogrammes-poids.

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