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Vidéo de question : Évaluer la somme d’une série quadratique finie en utilisant les propriétés de la somme Mathématiques

Sachant que ∑_ (𝑟 = 1) ^ (𝑛) 𝑟² = (𝑛 (𝑛 + 1) (2𝑛 + 1)) / 6, utilisez les propriétés de sommation pour calculer ∑_ (𝑟 = 1) ^ (6) (5𝑟² - 67).

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Transcription de vidéo

Sachant que la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 plus un sur six, utilisez les propriétés de sommation pour déterminer la somme pour 𝑟 allant de un à six de cinq 𝑟 au carré moins 67.

Dans cette question, on nous demande de trouver la somme partielle d’une série quadratique de terme général égal à cinq 𝑟 au carré moins 67. Nous sommons pour 𝑟 allant de un à six. Puisque le terme général est la somme ou plus exactement la différence de deux termes, nous pouvons commencer par rappeler la propriété de linéarité de la somme. Elle énonce qu’étant donné les constantes 𝜆 un et 𝜆 deux, la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝜆 un 𝑎 𝑟 plus 𝜆 deux 𝑏 𝑟 est égal à 𝜆 un multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑎 𝑟 plus 𝜆 deux multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑏 𝑟.

En appliquant ce résultat avec 𝜆 un égal à cinq, 𝑎 𝑟 égal à 𝑟 au carré, 𝜆 deux égal à moins un et 𝑏 𝑟 égal à 67, nous obtenons que la somme pour 𝑟 allant de un à six de cinq 𝑟 au carré moins 67 est égale à cinq multiplié par la somme pour 𝑟 allant de un à six de 𝑟 au carré moins la somme pour 𝑟 allant de un à six de 67. Nous pourrons évaluer la première de ces sommes en utilisant le résultat général figurant dans l’énoncé de la question. Seulement, pour évaluer la seconde, il est nécessaire de rappeler un deuxième résultat général. Ici, nous sommons la constante 67. Nous rappelons donc que la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 d’une constante 𝛼 est égale à 𝛼 multiplié par 𝑛. Allons alors de l’avant et évaluons ces deux sommes.

En remplaçant 𝑛 par six dans le résultat général donné dans l’énoncé de la question pour le calcul de la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré, nous obtenons cinq multiplié par six multiplié par six plus un multiplié par deux fois six plus un le tout sur six. Ensuite, en appliquant le résultat standard pour le calcul de la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 d’une constante avec 𝛼 égal à 67 et 𝑛 égal à six, nous allons soustraire 67 multiplié par six. En simplifiant, nous obtenons cinq multiplié par six multiplié par sept multiplié par 13 sur six moins 402. Nous pouvons alors éliminer le facteur six qui est commun au numérateur et au dénominateur du premier terme. Ainsi, il nous reste cinq multiplié par sept multiplié par 13, ce qui est égal à 455 auquel nous soustrayons 402, ce qui nous donne 53.

Ainsi, en utilisant la propriété de linéarité de la somme ainsi que les résultats standards pour le calcul de la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 de 𝑟 au carré et celui pour la somme pour 𝑟 allant de un à 𝑛 d’une constante, nous avons obtenu que la somme pour 𝑟 allant de un à six de cinq 𝑟 au carré moins 67 est égale à 53.

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