Vidéo : Produits scalaires et dualité

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Produits scalaires et dualité

14:11

Transcription de vidéo

Traditionnellement, les produits scalaires sont introduits très tôt dans un cours d’algèbre linéaire, généralement au tout début. Cela peut donc sembler étrange de les avoir repoussés si loin dans la série. Je l’ai fait parce qu’il existe un moyen standard d’introduire le sujet qui ne nécessite rien de plus qu’une compréhension de base des vecteurs. Mais une compréhension plus complète du rôle joué par les produits scalaires en mathématiques ne peut réellement être trouvée qu’à la lumière des transformations linéaires. Avant cela, toutefois, permettez-moi de parler brièvement de la manière habituelle d’introduire ces produits, ce qui, je suppose, consiste au moins en une révision partielle pour un certain nombre de téléspectateurs.

Numériquement, si vous avez deux vecteurs de même dimension, deux listes de nombres de même longueur, prendre leur produit scalaire signifie lier toutes les coordonnées, multiplier ces paires ensemble et additionner le résultat. Donc, le vecteur un, deux point trois, quatre serait un fois trois plus deux fois quatre. Le vecteur six, deux, huit, trois point un, huit, cinq, trois serait six fois un plus deux fois huit plus huit fois cinq plus trois fois trois.

Heureusement, ce calcul a une très belle interprétation géométrique. Pour se répresenter le produit scalaire entre deux vecteurs 𝐕 et 𝐖, imaginez projeter 𝐖 sur la droite qui passe par l’origine et la pointe de 𝐕. En multipliant la longueur de cette projection par la longueur de 𝐕 , vous obtenez le produit scalaire 𝐕 point 𝐖. Sauf si cette projection de 𝐖 pointe dans la direction opposée à 𝐕, ce produit scalaire sera effectivement négatif.

Ainsi, lorsque deux vecteurs pointent dans la même direction, leur produit scalaire est positif. Quand ils sont perpendiculaires, ce qui signifie que la projection de l’un sur l’autre est le vecteur nul, leur produit scalaire est zéro. Et s’ils pointent dans la direction opposée, leur produit scalaire est négatif.

Or, cette interprétation est étrangement asymétrique ; il traite les deux vecteurs très différemment. Alors, quand j’ai appris ça, j’ai été surpris de constater que l’ordre n’a pas d’importance. Vous pourriez plutôt projeter 𝐕 sur 𝐖, multiplier la longueur du projeté de 𝐕 par la longueur de 𝐖 et vous obtenez le même résultat. Je veux dire, cela ne semble-t-il pas être un processus vraiment différent ? Voici l’intuition pour pourquoi l’ordre n’a pas d’importance : si 𝐕 et 𝐖 ont la même longueur, nous avons une certaine symétrie, car la projection de 𝐖 sur 𝐕 puis en multipliant la longueur de cette projection par la longueur de 𝐕 est une image miroir complète de la projection de 𝐕 sur 𝐖 puis multiplier la longueur de cette projection par la longueur de 𝐖.

Maintenant, si vous changez de taille l’un d’entre eux, disons 𝐕 par une constante comme deux, afin qu’ils n’aient pas la même longueur, la symétrie est brisée. Mais nous allons réfléchir à la façon d’interpréter le produit scalaire entre ce nouveau vecteur deux fois 𝐕 et 𝐖. Si vous pensez 𝐖 projeté sur 𝐕, le produit scalaire de deux 𝐕 point 𝐖 sera exactement deux fois le produit scalaire 𝐕 point 𝐖. En effet, lorsque vous redimensionnez 𝐕 par deux, cela ne change pas la longueur de la projection de 𝐖, mais double la longueur du vecteur sur lequel vous projetez.

Mais, d’un autre côté, disons que vous envisagez de « projeter 𝐕 sur 𝐖 ». Eh bien, dans ce cas, la longueur de la projection est la chose à faire à l’échelle quand on multiplie par deux 𝐕. La longueur du vecteur sur lequel vous projetez reste constante. L’effet global est donc toujours de doubler le produit scalaire. Ainsi, même si la symétrie est brisée dans ce cas, l’effet de cette mise à l’échelle sur la valeur du produit scalaire est le même pour les deux interprétations.

Il y a aussi une autre grande question qui m’a dérouté quand j’ai appris ce truc. Pourquoi diable ce processus numérique d’appariement de coordonnées, de multiplication de paires et d’addition n’a-t-il rien à voir avec la projection ? Eh bien, pour donner une réponse satisfaisante et pour rendre pleinement justice à la signification du produit scalaire, nous devons découvrir quelque chose d’un peu plus profond qui se passe ici, qui s’appelle communément « la dualité ». Mais avant d’entrer dans cela, Je dois parler un peu des transformations linéaires de plusieurs dimensions en une seule dimension, qui n’est que la droite numérique. Ce sont des fonctions qui prennent un vecteur 2D et crachent un nombre. Mais les transformations linéaires sont bien sûr beaucoup plus restreintes que votre fonction courante avec une entrée 2D et une sortie 1D. Comme pour les transformations dans les dimensions supérieures, comme celles dont j’ai parlé au chapitre 3, certaines propriétés formelles rendent ces fonctions linéaires. Mais je vais délibérément les ignorer afin de ne pas détourner notre objectif final et de me concentrer sur une certaine propriété visuelle qui équivaut à tout ce qui est formel.

Si vous prenez une droite de points uniformément espacés et que vous appliquez une transformation, une transformation linéaire maintiendra ces points uniformément espacés, une fois qu’ils atterriront dans l’espace de sortie, qui est la droite numérique. Sinon, si une droite de points devient irrégulièrement espacée, votre transformation n’est pas linéaire. Comme dans les cas que nous avons vu auparavant, l’une de ces transformations linéaires est complètement déterminée par où elle envoie 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau. Mais cette fois, chacun de ces vecteurs de base atterrit simplement sur un nombre. Ainsi, lorsque nous enregistrons où ils atterrissent en tant que colonnes d’une matrice, chacune de ces colonnes ne comporte qu’un seul nombre. C’est une matrice un par deux.

Voyons un exemple de ce que signifie appliquer une de ces transformations à un vecteur. Supposons que vous ayez une transformation linéaire qui envoie 𝑖 chapeau sur un et 𝑗 sur moins deux. Pour suivre où un vecteur de coordonnées, disons, quatre, trois, finit, pensez à briser ce vecteur comme quatre fois 𝑖 chapeau plus trois fois 𝑗 chapeau. Une conséquence de la linéarité est qu’après la transformation, le vecteur sera quatre fois le lieu où 𝑖 atterrit , un, plus trois fois le lieu où 𝑗 atterrit, moins deux, ce qui implique dans ce cas qu’il tombe sur moins deux. Lorsque vous effectuez ce calcul purement numérique, il s’agit d’une multiplication matrice-vecteur.

Maintenant, cette opération numérique consistant à multiplier une matrice un sur deux par un vecteur donne l’impression de prendre le produit scalaire de deux vecteurs. Cette matrice un par deux ne ressemble-t-elle pas simplement à un vecteur que nous avons basculé sur le côté ? En fait, nous pourrions dire maintenant qu’il existe une belle association entre les matrices un par deux et les vecteurs 2D, définie en inclinant la représentation numérique d’un vecteur sur son côté pour obtenir la matrice associée ou pour renverser la matrice pour obtenir le vecteur associé.

Étant donné que nous examinons simplement les expressions numériques pour le moment, faire des allers-retours entre vecteurs et matrices un par deux peut sembler une chose stupide à faire. Mais cela suggère quelque chose de vraiment génial du point de vue géométrique. Il existe une sorte de lien entre les transformations linéaires qui transforment des vecteurs en nombres et les vecteurs eux-mêmes.

Permettez-moi de vous montrer un exemple qui clarifie la signification et qui, justement, répond également au casse-tête des produits scalaires déjà évoqué. Désapprenez ce que vous avez appris et imaginez que vous ne sachiez pas déjà que le produit scalaire est lié à la projection. Ce que je vais faire ici, c’est prendre une copie de la droite numérique et la placer en diagonale avec un espace égal à zéro, le nombre zéro étant placé en l’origine. Pensez maintenant au vecteur unitaires à deux dimensions, dont les flèches se situent là où se trouve le nombre un sur la droite numérique. Je veux donner un nom à ce gars, 𝐮 chapeau. Ce petit gars joue un rôle important dans ce qui va se passer, alors gardez-le au fond de votre esprit. Si nous projetons des vecteurs 2D directement sur cette droite numérique, nous venons de définir une fonction qui transforment des vecteurs 2D en nombres. De plus, cette fonction est en réalité linéaire puisqu’elle satisfait à notre test visuel, à savoir que toute droite de points uniformément espacés reste espacée de manière égale une fois qu’elle est arrivée sur la droite numérique.

Pour être clair, même si j’ai intégré la droite numérique dans un espace 2D comme celui-ci, les résultats de la fonction sont des nombres et non des vecteurs 2D. Vous devriez penser à une fonction qui prend deux coordonnées et génère une seule coordonnée. Mais ce vecteur 𝐮 chapeau qui est un vecteur à deux dimensions vivant dans l’espace d’entrée. Il est juste situé de telle manière qu’il chevauche la droite numérique.

Avec cette projection, nous venons de définir une transformation linéaire des vecteurs 2D en nombres, nous allons donc pouvoir trouver une sorte de matrice un par deux qui décrit cette transformation. Pour trouver cette matrice un par deux, zoomons sur cette configuration de droite numérique diagonale et réfléchissons à l’endroit où 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau atterrissent, puisque ces points d’atterrissage seront les colonnes de la matrice.

Cette partie est super cool. on peut raisonner avec une symétrie vraiment élégante. Car 𝑖 chapeau et 𝐮 chapeau sont tous deux des vecteurs unitaires, projeter 𝑖 chapeau sur la droite dirigée par 𝐮 chapeau ressemble tout à fait symétrique à la projection de 𝐮 chapeau sur l’axe des 𝑥. Alors, quand nous demandons : sur quel nombre 𝑖 chapeau atterrit quand il est projeté ? La réponse va être la même chose que ce que 𝐮 chapeau atteint s’il est projeté sur l’axe des 𝑥. Mais projeter 𝐮 chapeau sur l’axe des 𝑥 signifie simplement prendre la coordonnée 𝑥 de 𝐮 chapeau. Donc, par symétrie, le nombre où 𝑖 chapeau atterrit quand il est projeté sur cette droite diagonale va être la coordonnée 𝑥 de 𝐮 chapeau. N’est-ce pas cool ?

Le raisonnement est presque identique pour le cas 𝑗 chapeau. Pensez-y un instant. Pour les mêmes raisons, la coordonnée 𝑦 de 𝐮 chapeau nous donne le nombre où 𝑗 chapeau atterrit quand il est projeté sur la copie de la droite numérique.

Faites une pause et réfléchissez-y un instant ; Je pense juste que c’est vraiment cool. Ainsi, les entrées de la matrice un par deux décrivant la transformation de projection seront les coordonnées de 𝐮 chapeau. Et le calcul de cette transformation de projection pour des vecteurs arbitraires dans l’espace, ce qui nécessite de multiplier cette matrice par ces vecteurs, est identique au point de vue du calcul que de prendre un produit scalaire avec 𝐮 chapeau. C’est pourquoi prendre le produit scalaire avec un vecteur unitaires peut être interprété comme projeter un vecteur sur l’étendue de ce vecteur unitaire et prendre la longueur.

Alors qu’en est-il des vecteurs non unitaires ? Par exemple, supposons que nous prenions ce vecteur unitaire 𝐮 chapeau, mais que nous le multiplions par trois. Numériquement, chacune de ses composantes est multipliée par trois. Ainsi, la recherche de la matrice associée à ce vecteur, il faut 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau à trois fois les valeurs où ils ont atterri avant. Comme tout cela est linéaire, cela implique plus généralement que la nouvelle matrice peut être interprétée comme projeter n’importe quel vecteur sur la copie de la droite numérique et multiplier par trois où il atterrit. C’est pourquoi le produit scalaire avec un vecteur non unitaire peut être interprété comme une projection en premier sur ce vecteur, puis une augmentation de la longueur de cette projection de la longueur du vecteur.

Prenez un moment pour penser à ce qui s’est passé ici. Nous avons eu une transformation linéaire de l’espace 2D en une droite numérique, qui n’était pas définie en termes de vecteurs numériques ou de produits de points numériques ; il a juste été défini en projetant l’espace sur une copie diagonale de la droite numérique. Mais comme la transformation est linéaire, elle a nécessairement été décrite par une matrice un par deux. Et comme multiplier une matrice un par deux par un vecteur 2D revient à tourner cette matrice et à prendre un produit scalaire, cette transformation était inévitablement liée à un vecteur 2D.

La leçon à tirer est que chaque fois que vous avez l’une de ces transformations linéaires, dont l’ensemble image est la droite numérique, peu importe la définition, un vecteur unique 𝐕 correspondant à cette transformation sera créé, dans le sens où l’application de la transformation est la même chose que prendre un produit scalaire avec ce vecteur.

Pour moi, c’est absolument magnifique. C’est un exemple de quelque chose en mathématique appelé « dualité ». La dualité apparaît de différentes manières et dans toutes les formes de mathématiques, et il est très délicat de la définir. En gros, cela fait référence à des situations où vous avez une correspondance naturelle, mais surprenante, entre deux types de choses mathématiques. Dans le cas de l’algèbre linéaire que vous venez d’apprendre, vous diriez que le dual d’un vecteur est la transformation linéaire qu’il code. Et la dualité d’une transformation linéaire d’un espace à une dimension est un certain vecteur dans cet espace.

En résumé, le produit scalaire est donc un outil géométrique très utile pour comprendre les projections et pour vérifier si les vecteurs ont tendance à aller dans la même direction. Et c’est probablement la chose la plus importante à retenir sur le produit scalaire. Mais à un niveau plus profond, relier deux vecteurs est un moyen de traduire l’un d’entre eux dans le monde des transformations. Encore une fois, numériquement, cela peut sembler un point idiot à souligner ; ce ne sont que deux calculs qui se ressemblent. Mais la raison pour laquelle je trouve cela si important, c’est que tout en maths, quand on a affaire à un vecteur, une fois que l’on connaît vraiment sa personnalité, on se rend parfois compte qu’il est plus facile de le comprendre non comme une flèche dans l’espace, mais comme la réalisation physique d’une transformation linéaire. C’est comme si le vecteur n’était en réalité qu’un raccourci conceptuel pour une certaine transformation, car il nous est plus facile de penser aux flèches et à l’espace plutôt que de déplacer tout cet espace vers la droite numérique.

Dans la vidéo suivante, vous verrez un autre exemple vraiment cool de cette dualité en action où je parle du produit vectoriel.

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