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Vidéo de question : Développer une série finie Mathématiques

Développez ∑_ (𝑟 = 7) ^ (11) (-2 + (7 / 𝑟)).

02:28

Transcription de vidéo

Développez la somme de 𝑟 égale sept jusqu’à 11 de moins deux plus sept sur 𝑟.

Ceci est la lettre grecque ∑. Lorsque nous la lisons, nous disons : la somme de 𝑟 est égale à sept jusqu'à 11. Alors, avec cette information, comment trouver la somme de 𝑟 égale à sept jusqu'à 11 de l'expression moins deux plus sept sur 𝑟 ? Bien, nous allons prendre 𝑟 égale sept. Ensuite, nous allons considérer 𝑟 égale huit, neuf, 10 et 11 et nous allons trouver la somme de ces expressions.

Ainsi, lorsque 𝑟 est égal à sept, l'expression moins deux plus sept sur 𝑟 donne moins deux plus sept sur sept. Cela donne moins deux plus un, qui est simplement moins un. Ainsi, lorsque 𝑟 est égal à sept, l'expression moins deux plus sept sur 𝑟 donne moins un. Répétons cela avec 𝑟 égale huit. L'expression devient alors moins deux plus sept huitièmes. Pour calculer cela, nous écrivons moins deux avec un dénominateur de huit. Cela donne moins 16 sur huit. Ensuite, nous pouvons additionner les numérateurs. Nous constatons que lorsque 𝑟 est égal à huit, notre expression donne moins neuf huitièmes.

Calculons maintenant la valeur de moins deux plus sept sur 𝑟 lorsque 𝑟 est égal à neuf. Nous obtenons moins deux plus sept neuvièmes. Moins deux avec un dénominateur de neuf donne moins 18 sur neuf. Nous voyons alors que l'expression est équivalente à moins 11 sur neuf. Puis, nous prenons 𝑟 égale 10 et nous obtenons moins deux plus sept dixièmes. Nous pouvons donc l'écrire comme moins 20 sur 10 plus sept dixièmes, ce qui nous donne moins 13 sur 10. De même, lorsque 𝑟 est égal à 11, nous obtenons moins 15 sur 11.

Evidemment, la question nous demande de développer notre somme. Il suffit donc d'additionner toutes ces expressions. Nous obtenons alors moins un plus moins neuf huitièmes plus moins 11 sur neuf plus moins 13 sur 10 plus moins 15 sur 11. Bien sûr, l'addition d'un nombre négatif est la soustraction d'un nombre positif, ce qui nous permet de réécrire la formule.

En développant notre expression, nous obtenons donc moins un moins neuf huitièmes moins onze neuvièmes moins treize dixièmes moins quinze onzièmes.

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