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Vidéo de question : Déterminer l’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète Mathématiques

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4 et 5. Sachant que 𝑃 (𝑋 = 1) = 7/33, 𝑃 (𝑋 = 2) = 8/33, 𝑃 (𝑋 = 3) = 1/11, et 𝑃 (𝑋 = 4) = 1/33, déterminez l’espérance de 𝑋.

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Transcription de vidéo

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs un, deux, trois, quatre et cinq. Sachant que la probabilité que 𝑋 égale un est sept sur 33, la probabilité que 𝑋 égale deux est huit sur 33, la probabilité que 𝑋 égale trois est un onzième et que la probabilité que 𝑋 soit égale à quatre est un sur 33, déterminez l’espérance de 𝑋.

Nous pouvons commencer par présenter ces informations sous forme de tableau. Ce n’est pas nécessaire mais cela facilite beaucoup le travail. Rappelez-vous que la somme de toutes les probabilités de notre variable aléatoire discrète doit être égale à un. On peut donc trouver la probabilité que 𝑋 soit égale à cinq en soustrayant de un la somme des autres probabilités.

La probabilité que 𝑋 soit égale à cinq est un moins sept sur 33 plus huit sur 33 plus un onzième plus un sur 33. Nous pouvons maintenant la déterminer avec notre calculatrice mais il est utile de se rappeler comment additionner et soustraire des fractions sans en utiliser une. Pour ce faire, nous devons d’abord nous assurer que toutes les fractions ont le même dénominateur.

Pour nous assurer qu’elles ont le même dénominateur, nous devrons multiplier le numérateur et le dénominateur de un onzième par trois. Un onzième équivaut à trois sur 33. Nous pouvons ensuite trouver la somme de ces probabilités en additionnant ensemble leurs numérateurs. Sept sur 33 plus huit sur 33 plus trois sur 33 plus un sur 33 est égal à 19 sur 33. Ensuite, rappelons que un est équivalent à 33 sur 33. Nous pouvons par conséquent soustraire 19 sur 33 de 33 sur 33 afin de trouver la probabilité que 𝑋 soit égale à cinq. Cela fait 14 sur 33.

Maintenant que nous avons toutes les probabilités, nous pouvons appliquer la formule de l’espérance à 𝑋. L’espérance de 𝑋 est la somme des produits de chacun des résultats possibles par la probabilité que ce résultat se produise. Remplaçons donc par ce que nous avons dans cette formule.

𝑥 multiplié par la probabilité de 𝑋 pour la première colonne est un multiplié par sept sur 33. Pour la deuxième colonne, c’est deux multiplié par huit sur 33. Pour la troisième colonne, c’est trois multiplié par trois sur 33. Et pour les deux dernières colonnes, nous avons quatre multiplié par un sur 33 et cinq multiplié par 14 sur 33.

Rappelez-vous, que ce symbole ∑ signifie la somme de, nous allons donc additionner ensemble chacune de ces valeurs. Un multiplié par sept sur 33 donne sept sur 33. Deux multiplié par huit sur 33 vaut 16 sur 33. Trois multiplié par trois sur 33 fait neuf sur 33. Quatre multiplié par un sur 33 est égal à quatre sur 33. Et cinq multiplié par 14 sur 33 fait 70 sur 33. La somme de ces valeurs nous donne 106 sur 33.

Nous pouvons maintenant regarder notre tableau pour vérifier si cette réponse nous semble crédible. 106 sur 33 équivaut à trois plus sept sur 33. Étant donné que les valeurs possibles pour 𝑋 sont un, deux, trois, quatre et cinq et que trois plus sept sur 33 est légèrement au-dessus du milieu entre un et cinq, trois plus sept sur 33 est crédible pour l’espérance de cette loi de probabilité.

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