Vidéo question :: Appliquer le principe de dénombrement Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans un examen final qui se compose de 12 questions, un quart d'entre elles sont des questions de dissertation et les autres sont des questions à choix multiples. Un élève doit répondre à 10 questions, dont au moins 7 sont des questions à choix multiples et les autres sont des questions de dissertation. Écrivez le calcul qui donnerait le nombre de façons dont l'élève peut choisir les questions à répondre. Est-ce (A) C 10 sept fois C trois trois fois C 10 huit fois C trois deux fois C 10 neuf fois C trois un ? Est-ce (B) C neuf sept plus C trois trois plus C neuf huit plus C trois deux plus C neuf neuf plus C trois un ? (C) C 12 sept fois C trois trois plus C 12 huit fois C trois deux plus C 12 neuf fois C trois un. (D) est C neuf sept fois C trois trois plus C neuf huit fois C trois deux plus C neuf neuf fois C trois un. Ou enfin, est-ce l’option (E) C neuf sept plus C 12 trois plus C neuf huit fois C 12 deux plus C neuf neuf plus C 12 un ?

Commençons par déterminer l’issue recherché. Pour terminer l’examen final, un élève doit résoudre 10 questions. Au moins sept de ces 10 questions doivent être à choix multiples, tandis que les autres sont des questions de dissertation. On nous dit aussi qu’on choisit parmi 12 questions. Commençons donc par déterminer combien parmi ces questions sont des questions de dissertation et combien sont à choix multiples. En fait, on nous dit qu’un quart des questions sont des questions de dissertation. Un quart de 12 est trois, donc sur le total de 12 questions, trois d’entre elles sont des questions de dissertation. Le reste est à choix multiples.

Nous pouvons donc calculer cela de deux façons. Nous pourrions soustraire trois de 12, ou trouver les trois quarts de 12. Quoi qu’il en soit, nous trouvons que neuf des questions données sont à choix multiples. Donc, cela dit, trouvons les issues possibles qui amèneraient un élève à résoudre 10 questions. Il pourrait bien sûr résoudre exactement sept questions à choix multiples. Et les trois autres, pour former 10, devraient être des questions de dissertation. Alternativement, il pourrait résoudre huit questions à choix multiples et seulement deux questions de dissertation. Enfin, il pourrait choisir neuf questions à choix multiples et une question de dissertation.

Ça pourrait être tentant de penser qu’il existe une quatrième option, 10 questions à choix multiples et aucune question de dissertation. Mais rappelez-vous, nous avons dit qu’il y a un total de neuf questions à choix multiples, ce qui correspond au nombre maximum absolu de questions à choix multiples auxquelles un élève peut répondre.

Donc, selon ce raisonnement, comment calculer le nombre de façons de choisir, par exemple, sept questions à choix multiples et trois questions de dissertation ? Voyons d’abord les évènements individuels de chaque option. Nous pouvons choisir des questions à choix multiples, et nous pouvons choisir des questions de dissertation. Ce sont bien sûr des évènements indépendants. Choisir, par exemple, une question à choix multiples ne change pas réellement le nombre de questions de dissertation que nous devons choisir. Cela signifie que pour trouver le nombre de façons de choisir sept questions à choix multiples et trois questions de dissertation, nous pouvons utiliser le principe fondamental de dénombrement.

Cela nous indique que si nous avons deux événements indépendants 𝐴 et 𝐵, où le nombre d’issues possibles pour 𝐴 est 𝑚 et le nombre d’issues pour 𝐵 est 𝑛, alors le nombre total d’issues possibles pour les deux événements ensemble est 𝑚 fois 𝑛. Donc, si nous pouvons trouver le nombre de façons de choisir sept questions à choix multiples, nous pouvons le multiplier par le nombre de façons de choisir trois questions de dissertation. Cela nous donnera le nombre total de façons possibles de choisir sept questions à choix multiples et trois questions de dissertation.

Maintenant, plus précisément, nous cherchons à choisir sept questions à choix multiples sur neuf au total. Maintenant, rappelez-vous, le nombre de façons de sélectionner 𝑟 objets sur un total de 𝑛 lorsque l’ordre n’a pas d’importance c’est C 𝑛 𝑟. Maintenant, ici l’ordre n’a pas d’importance, donc le nombre de façons de choisir sept questions à choix multiples sur un total de neuf est C neuf sept.

De la même manière, nous cherchons à choisir trois questions de dissertation à partir d’un total de trois. Donc, il y a C trois trois façons de le faire. Le principe fondamental de dénombrement énonce que le nombre total d’issues est alors C neuf sept fois C trois trois. Répétons cette démarche pour l’option deux, le nombre de façons de choisir huit questions à choix multiples et deux questions de dissertation. Le nombre de façons de choisir huit questions à choix multiples sera C neuf huit. Et le nombre de façons de choisir les questions de dissertation est de C trois deux. Le nombre total d’issues pour l’option deux est alors C neuf huit fois C trois deux.

Nous pouvons maintenant calculer le nombre de façons de choisir neuf questions à choix multiples et une question de dissertation. Cette fois, c’est C neuf neuf fois C trois un. Nous avons donc le nombre de façons de choisir sept questions à choix multiples et trois questions de dissertation, huit questions à choix multiples et deux questions de dissertation, et neuf choix multiples et une question de dissertation. Alors, comment les combiner et déterminer le nombre de façons dont l’élève peut choisir les questions à répondre ?

Eh bien, tout d’abord, il convient de noter que ces options sont deux à deux incompatibles. En d’autres termes, un élève ne peut pas choisir simultanément sept questions à choix multiples et trois questions de dissertation, en même temps que choisir huit questions à choix multiples et deux questions de dissertation. De plus, lorsque nous avons affaire à des événements deux à deux incompatibles, nous pouvons trouver le nombre total d’issues en utilisant la règle d’addition.

Disons encore une fois que 𝐴 et 𝐵 sont deux événements. Cette fois-ci, ils sont deux à deux incompatibles. Si 𝐴 a 𝑚 issues et 𝐵 en a 𝑛, le nombre d’issues de 𝐴 ou 𝐵 est 𝑚 plus 𝑛. Et c’est vraiment utile car cela nous indique le nombre total de façons dont l’élève peut choisir les questions à répondre en additionnant les trois issues que nous avons vus plus tôt, donc C neuf sept fois C trois trois plus C neuf huit fois C trois deux plus C neuf neuf fois C trois un.

Et si nous examinons nos options à choix multiples, il s’agit de l’option (D). C’est le calcul qui donne le nombre de façons dont l’élève peut choisir les questions à répondre.