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Vidéo de question : Déterminer l’intégration d’une fonction à l’aide de la règle de puissance avec des racines Mathématiques

Déterminez ∫ (9√(𝑥) + 2𝑥 - (1/√𝑥)) d𝑥.

06:42

Transcription de vidéo

Déterminez l’intégrale de neuf fois la racine carrée de 𝑥 plus deux 𝑥 moins un sur la racine carrée de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de calculer l’intégrale de la somme ou de la différence de trois termes, et nous savons que nous pouvons le faire terme par terme. Nous savons comment intégrer deux 𝑥 en utilisant la règle de puissance pour l’intégration. Cependant, nos deux autres termes ne sont pas trop simples. Nous ne pouvons pas calculer directement l’intégrale de ces deux termes. Cela signifie que nous allons devoir réécrire ces deux termes sous une forme que nous pouvons intégrer. Nous le ferons en utilisant nos lois des exposants.

La première chose que nous devons remarquer est que nous pouvons réécrire la racine carrée de 𝑥 comme 𝑥 à la puissance un demi en utilisant nos lois des exposants. Cela nous permettra immédiatement d’intégrer notre premier terme. En fait, nous allons également utiliser cela pour réécrire notre troisième terme. Donc, en utilisant cela, nous avons réécrit notre intégrale comme l’intégrale de neuf 𝑥 à la puissance un demi plus deux 𝑥 moins un divisé par 𝑥 à la puissance un demi par rapport à 𝑥. Et maintenant, nous pouvons voir que nous pouvons calculer l’intégrale de notre premier terme en utilisant la règle de puissance de l’intégration et notre deuxième terme. Il suffit donc de réécrire notre troisième terme sous une forme que nous pouvons intégrer.

Et en fait, le troisième terme est presque sous une forme que nous pouvons intégrer en utilisant la règle de puissance pour l’intégration. Nous avons juste besoin d’utiliser nos lois des exposants pour réécrire notre terme 𝑥 au numérateur. Et pour ce faire, il suffit de rappeler que un sur 𝑥 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑥 à la puissance moins 𝑛 pour toute constante réelle 𝑛. Dans notre cas, la valeur de 𝑛 est un demi. Ainsi, nous pouvons réécrire le troisième terme de notre terme à intégrer comme moins un fois 𝑥 à la puissance moins un demi.

Cela signifie que nous avons maintenant réécrit notre intégrale comme l’intégrale de neuf 𝑥 à la puissance un demi plus deux 𝑥 moins 𝑥 à la puissance moins un demi par rapport à 𝑥. Et maintenant, nous avons écrit ceci sous une forme que nous pouvons intégrer terme par terme en utilisant la règle de puissance pour l’intégration. Nous rappelons que cela nous indique pour toutes les constantes réelles 𝑎 et 𝑛 où 𝑛 n’est pas égale à moins un, l’intégrale de 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 plus un divisé par 𝑛 plus un plus la constante d’intégration 𝐶. En d’autres termes, nous ajoutons un à notre exposant de 𝑥 puis nous divisons par ce nouvel exposant.

Nous voulons appliquer cela terme par terme. Commençons par le premier terme de notre terme à intégrer. Nous pouvons voir que notre exposant de 𝑥 est égal à un-demi. Donc, nous voulons ajouter un à notre exposant un demi. Cela nous donne un nouvel exposant de trois sur deux. Et puis, nous devons diviser par notre nouvel exposant de trois sur deux. Cela nous donne neuf 𝑥 à la puissance trois sur deux le tout divisé par trois sur deux. Et il existe différentes façons de simplifier cela. Nous ferons cela en multipliant notre numérateur et notre dénominateur par deux.

Au dénominateur, nous obtenons deux divisé par deux est égal à un. Et au numérateur, deux multiplié par neuf est égal à 18. Donc, nous avons simplifié cela pour donner 18𝑥 à la puissance trois sur deux divisé par trois. Et bien sûr, 18 divisé par trois est égal à six. Ainsi, en intégrant notre premier terme en utilisant la règle de puissance pour l’intégration et en simplifiant, nous obtenons six 𝑥 à la puissance trois sur deux.

Nous voulons maintenant faire de même pour notre deuxième terme. Pour utiliser la règle de puissance pour l’intégration, nous devons connaître l’exposant de 𝑥. Et pour ce faire, nous devons rappeler que 𝑥 est la même chose que 𝑥 à la puissance un. Donc, encore une fois, pour intégrer cela, nous devons ajouter un à notre exposant, puis diviser par ce nouvel exposant. Ajouter un à notre exposant nous donne un nouvel exposant de deux. Et nous devons ensuite diviser par deux. Et bien sûr, nous pouvons simplifier cela. Deux divisé par deux est égal à un. Donc, en intégrant notre deuxième terme en utilisant la règle de puissance pour l’intégration, cela se simplifie en 𝑥 au carré.

Enfin, nous devons appliquer le même processus à notre troisième et dernier terme. Nous devons ajouter un à notre exposant de 𝑥 à la puissance moins un demi. Ajouter un à moins un demi nous donne un nouvel exposant de un demi. Ensuite, nous devons diviser par cette nouvelle puissance de un-demi. Donc, nous soustrayons 𝑥 à la puissance un demi divisé par un demi. Et nous savons que diviser par un demi revient à multiplier par deux. Ainsi, intégrer notre troisième terme en utilisant la règle de puissance pour l’intégration nous donne moins deux fois 𝑥 à la puissance un demi. Et rappelez-vous, nous devons ajouter notre constante d’intégration 𝐶. Nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous utiliserons nos lois des exposants pour simplifier.

Tout d’abord, rappelez-vous que nous pouvons réécrire 𝑥 à la puissance trois sur deux comme 𝑥 au cube, le tout élevé à la puissance un demi. Mais rappelez-vous, élever un nombre à la puissance un demi revient à prendre sa racine carrée. Donc, en fait, 𝑥 élevé à la puissance trois sur deux est la même chose que la racine carrée de 𝑥 au cube. Donc, nous allons réécrire notre premier terme comme six fois la racine carrée de 𝑥 au cube. Nous allons également réécrire notre troisième terme comme moins deux fois la racine carrée de 𝑥. Cela nous donne six fois la racine carrée de 𝑥 cube plus 𝑥 carré moins deux racine de 𝑥 plus 𝐶. Et la dernière simplification que nous allons faire est de réorganiser notre troisième et notre premier terme, et cela nous donne notre réponse finale.

Par conséquent, nous avons pu montrer que l’intégrale de neuf racine 𝑥 plus deux 𝑥 moins un sur la racine carrée de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins deux racine 𝑥 plus 𝑥 au carré plus six fois la racine carrée de 𝑥 au cube plus notre constante d’intégration 𝐶.

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