Vidéo question :: Exprimer un nombre décimal périodique sous forme de fraction à l’aide de la somme d’une suite géométrique infinie Mathématiques

Transcription de la vidéo

En trouvant la somme d’une suite géométrique infinie, exprimez 0,375 comme une fraction.

Dans cette question, on nous donne un nombre décimal avec une ligne au-dessus des chiffres trois, sept et cinq. Cela signifie que ces trois chiffres se répètent ou sont récurrents. Le nombre périodique 0,375 est égal à 0,375375375 et ainsi de suite. Il convient également de noter que cela peut être écrit avec un point au-dessus du premier et du dernier chiffres qui se répètent. Il existe plusieurs façons de réécrire un nombre décimal récurrent sous forme de fraction. Dans cette question, on nous demande de le faire en utilisant notre connaissance des suites géométriques. Nous commençons par diviser le nombre récurrent 0,375 comme suit. Il est égal à 0,375 plus 0,000375 plus 0,000000375 et ainsi de suite. Le membre droit de notre équation est un exemple de suite géométrique, où le premier terme est 𝑎, le deuxième terme 𝑎𝑟, le troisième terme 𝑎𝑟 au carré, et ainsi de suite. Les termes de la suite pourraient également être écrits comme une suite géométrique dont le premier terme 𝑎 est égal à 0,375.

Nous pouvons calculer la valeur de la raison 𝑟 en divisant un terme par le précédent. 𝑟 est donc égal à 0,000375 divisé par 0,375. Cela équivaut à un millième ou 0,001. Puisque la valeur absolue de la raison est strictement inférieure à un, nous pouvons trouver la somme de cette suite géométrique infinie. Nous pouvons calculer la somme en divisant le premier terme 𝑎 par un moins 𝑟. En substituant dans nos valeurs de 𝑎 et 𝑟, nous avons 0,375 divisé par un moins 0,001. Cela équivaut à 0,375 sur 0,999, et cela équivaut à 375 sur 999. Le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont tous deux divisibles par trois. Notre fraction se simplifie donc en 125 sur 333. Nous pouvons donc conclure que 0,375 s’écrit sous forme de fraction sous sa forme irréductible comme étant 125 sur 333.