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Vidéo de question : Calculer le produit vectoriel de deux vecteurs parallèles représentés sur une figure Mathématiques

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de côté 4 et 𝐮 est un vecteur unitaire orthogonal au plan du carré. Calculez 𝐀𝐃 × 𝐁𝐂.

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Transcription de vidéo

𝐴𝐵𝐶𝐷 est un carré de côté quatre et 𝐮 est un vecteur unitaire orthogonal au plan du carré. Calculez 𝐀𝐃 vectoriel 𝐁𝐂.

En observant ce carré, on peut voir que les sommets 𝐴 et 𝐷 sont ici et que 𝐵 et 𝐶 sont ici. La question nous demande de définir deux vecteurs, un allant du point 𝐴 au point 𝐷 et l’autre allant du point 𝐵 au point 𝐶, puis de calculer leur produit vectoriel. Le vecteur 𝐀𝐃 ressemble donc à ceci et 𝐁𝐂 à cela. Puisque ces vecteurs sont sur les côtés de ce carré, nous savons qu’ils ont tous les deux une norme de quatre. Ils pointent également dans la même direction dans le plan du carré.

On rappelle alors que pour deux vecteurs 𝐯 et 𝐰, leur produit vectoriel est égal à la norme de 𝐯 fois la norme de 𝐰 fois le sinus de l’angle entre eux. Ici, nous avons appelé cet angle 𝜃, et ce produit vectoriel est dans la direction d’un vecteur unitaire orthogonal à 𝐯 et à 𝐰.

En appliquant cette relation à notre exemple, utilisons à nouveau 𝜃 pour désigner l’angle entre les deux vecteurs 𝐀𝐃 et 𝐁𝐂. Et on nous dit que ce vecteur 𝐮 est un vecteur unitaire orthogonal au plan du carré. Autrement dit, il va vers l’avant ou l’arrière de l’écran. Nous connaissons de plus les normes de 𝐀𝐃 et 𝐁𝐂. Elles sont toutes les deux égales à quatre. Mais réfléchissons un peu au sinus de l’angle entre ces vecteurs. Puisque les deux vecteurs pointent exactement dans la même direction, l’angle entre eux est nul.

On peut donc écrire que ce produit vectoriel est égal à quatre fois quatre fois sinus de zéro dans la direction de 𝐮. Mais sin de zéro est en fait égal à zéro. Et cela signifie que tout ce produit vectoriel est nul. Chaque fois que deux vecteurs sont parallèles, qu’ils pointent dans la même direction comme ici ou dans des directions opposées, le produit vectoriel entre eux doit être nul. Et cela est du au sinus de zéro qui est égal à zéro. Ou pour des vecteurs de directions opposées, au sinus de 180 degrés qui est également nul. Par conséquent, 𝐀𝐃 vectoriel 𝐁𝐂 est égal à zéro.

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