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Un cône circulaire droit a une base de diamètre 10 centimètres et une hauteur de 12 centimètres. Déterminez l’aire totale de la surface du cône au dixième près.
Commençons par dessiner ce cône pour le visualiser plus clairement. On nous dit que le cône a une base de diamètre 10 centimètres et une hauteur de 12 centimètres. Et nous devons calculer l’aire totale du cône. L’aire totale d’un cône est égale à l’aire de sa base plus son aire latérale. C’est-à-dire 𝜋𝑟 carré plus 𝜋𝑟𝑙, où 𝑟 est le rayon de la base du cône et 𝑙 est la génératrice.
Nous connaissons le rayon de la base du cône. Si le diamètre est de 10 centimètres, alors le rayon est égal à un demi de cela, soit cinq centimètres. Notre calcul devient donc 𝜋 fois cinq au carré pour l’aire de la base, plus 𝜋 fois cinq fois 𝑙, pour l’aire latérale.
La question ne nous donne pas la valeur de 𝑙. Mais rappelez-vous que 𝑙 est la génératrice du cône. Et que nous connaissons la hauteur de ce cône, 12 centimètres. Pour des problèmes comme celui-ci, il est vraiment important de lire l’énoncé avec attention et de déterminer si la longueur donnée est celle de la hauteur ou de la génératrice car elles ne représentent pas la même chose.
Voyons donc comment nous pouvons calculer la génératrice à partir des informations que nous avons. La génératrice, la hauteur et le rayon du cône forment un triangle rectangle. Cela signifie que nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la génératrice comme nous connaissons les deux autres côtés de ce triangle rectangle.
Avec le théorème de Pythagore, on obtient 𝑙 au carré égale cinq au carré plus 12 au carré. L’évaluation de chacun de ces nombres nous donne 𝑙 au carré égale 25 plus 144. Et la somme de ces deux valeurs est égale à 169. Par conséquent, 𝑙 est égal à racine carrée de 169, soit 13.
Nous connaissons donc maintenant la génératrice du cône, 13 centimètres. Vous l’aviez peut-être déjà remarqué, car les valeurs cinq, 12 et 13 forment un triplet pythagoricien. Dans tous les cas, nous connaissons maintenant la valeur de 𝑙. En la substituant dans le calcul de l’aire totale, on a maintenant 𝜋 fois cinq au carré plus 𝜋 fois cinq fois 13.
En évaluant chacune des constantes, on a 25𝜋 plus 65𝜋. Ce qui donne un total de 90𝜋. Maintenant, notre réponse ne doit pas être un multiple de 𝜋, mais un nombre décimal arrondi au dixième près. Nous devons donc évaluer cette expression. Sous forme décimale, elle est égale à 282,7433 et ainsi de suite.
Et en l’arrondissant au dixième près, nous pouvons conclure que l’aire totale du cône est de 282,7 centimètres carrés.
