Vidéo de la leçon: Volumes de pyramides Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver les volumes de pyramides triangulaires et quadrilatérales et à résoudre des problèmes, y compris dans des situations réelles.

Nous pouvons commencer par nous rappeler ce qu’est une pyramide. Une pyramide est une figure tridimensionnelle dont la base est un polygone, par exemple un triangle, un carré, un pentagone, etc. Et tous les autres côtés sont des triangles qui se rencontrent au sommet ou au sommet de la pyramide.

Nous pouvons rappeler qu’il existe deux types spéciaux de pyramides. Le premier type est une pyramide droite, qui est une pyramide dont le sommet se trouve au-dessus du centre de gravité de la base. Le deuxième type est une pyramide régulière, qui est une pyramide droite dont la base est un polygone régulier. Autrement dit, tous les côtés de la base sont de longueur égale et toutes les arêtes latérales de la pyramide sont de longueur égale. Et maintenant, réfléchissons au volume d’une pyramide.

Le volume d’une figure tridimensionnelle correspond à l’espace que cette figure prendrait. Si nous imaginons remplir cette pyramide d’eau puis la verser dans un récipient, quelle quantité d’eau y aurait-il ? Imaginons donc que nous ayons un prisme qui ait la même longueur, largeur et hauteur que la pyramide. Si nous prenions notre pyramide remplie d’eau et la renversions dans le prisme, alors le volume d’eau dans le prisme serait un tiers de la hauteur du prisme. On peut donc dire que, pour trouver le volume d’une pyramide, il est égal à un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur de la pyramide. Et c’est la formule que nous utilisons pour trouver le volume d’une pyramide.

Dans cette figure, l’aire de la base est un rectangle, nous multiplions donc la longueur par la largeur. Mais bien sûr, le polygone à la base peut avoir n’importe quelle forme. Par exemple, s’il s’agissait d’un triangle, nous aurions besoin d’utiliser la formule pour trouver l’aire du triangle pour calculer l’aire de la base. Alors, maintenant, regardons quelques questions concernant le volume d’une pyramide. Dans cette vidéo, nous allons simplement regarder ces pyramides qui ont une base triangulaire ou quadrilatère.

Déterminez, au centième près, le volume de la pyramide donnée.

Donc, ici, nous avons une pyramide à base rectangulaire. Nous allons utiliser la formule selon laquelle le volume d’une pyramide est égal à un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur. Pour trouver l’aire de la base, comme nous savons qu’il s’agit d’un rectangle, nous allons multiplier la longueur par la largeur, ce qui nous donne six multiplié par quatre. Et cela fait 24 centimètres carrés.

Pour trouver le volume de la pyramide, puis, en utilisant la formule, nous avons qu’il est égal à un tiers multiplié par l’aire de la base, qui est 24. Multiplié par la hauteur de la pyramide, qui est de neuf centimètres. On peut alors trouver un tiers de 24 ou de neuf. Dans ce cas, nous pouvons trouver un tiers de 24 comme huit. Et donc, notre calcul est huit multiplié par neuf, ce qui est 72. Et les unités ici, comme c’est un volume, seraient des centimètres cubes. Comme on nous demande de donner notre réponse au centième le plus proche, nous pouvons l’indiquer avec une réponse au centième près comme 72.00 centimètres cubes.

Nous allons maintenant jeter un œil à une question impliquant une pyramide à base triangulaire.

Déterminer, au dixième près, le volume du solide donné.

Nous pouvons voir que ce solide a une base triangulaire et trois autres faces triangulaires, ce qui signifie qu’il s’agit d’une pyramide à base triangulaire. Et donc, pour trouver le volume, on peut rappeler que la formule pour le volume d’une pyramide est qu’elle est égale à un tiers de l’aire de la base multipliée par la hauteur. Comme nous avons ici une pyramide triangulaire, l’aire de la base pourrait être l’un des quatre côtés triangulaires. Pour rester simple, cependant, utilisons celui qui est actuellement surligné en orange ici.

Et donc, pour trouver l’aire de la base, nous pouvons utiliser la formule selon laquelle l’aire d’un triangle est égale à la moitié de la base fois la hauteur. Et donc, sur ce triangle sur la base, nous avons une base de 10 et une hauteur de huit. Donc, nous calculons une demi fois 10 fois huit. On pourrait alors simplifier cela au calcul cinq fois huit, ce qui nous donnera 40, avec des unités de centimètres carrés.

En utilisant cela dans le volume d’une pyramide, nous aurons un tiers multiplié par 40 et multiplié par la hauteur de cette pyramide, qui serait de cinq centimètres. Par conséquent, le volume est de 200 sur trois, ou 200 divisé par trois, ce qui représente 66.6 centimètres cubes répétitifs. Et pour l’arrondir au dixième le plus proche, alors que nos chiffres seraient six six six en continu, cela signifie que lorsque nous vérifions notre deuxième chiffre décimal, nous aurions une valeur de cinq ou plus. Et notre réponse pour le volume s’arrondira à 66.7 centimètres cubes.

Calculez le volume d’une pyramide à base carrée avec une hauteur de 12 pouces et une longueur de base de cinq pouces.

Commençons cette question en esquissant une figure de cette pyramide. Comme on nous dit que cette pyramide a une longueur de base de cinq pouces, puisqu’il s’agit d’un carré, nous savons que la longueur et la largeur seront les mêmes. La hauteur de 12 pouces fait référence à la hauteur perpendiculaire de la pyramide. On peut rappeler que le volume d’une pyramide est égal à un tiers multiplié par l’aire de la base multipliée par la hauteur.

Donc, pour trouver l’aire de la base, qui est un carré dans ce cas, nous savons que ce sera la longueur multipliée par la longueur. Donc, c’est cinq fois cinq, ce qui nous donne 25 pouces carrés. Donc, pour trouver le volume de la pyramide, nous prenons l’aire de notre base, qui est 25. Donc, nous avons une troisième fois 25 fois la hauteur, qui est de 12 pouces. On peut simplifier ce calcul en trouvant un tiers sur 12, soit quatre. Donc, nous avons maintenant le calcul 25 multiplié par quatre, qui est 100. Et nos unités ici seront en pouces cubes. Donc, notre réponse finale pour le volume de la pyramide est de 100 pouces cubes.

Dans la question suivante, nous verrons un exemple de la façon dont nous pourrions parfois avoir besoin d’utiliser le théorème de Pythagore pour nous aider à obtenir toutes les valeurs dont nous avons besoin pour le volume d’une pyramide.

Trouvez le volume de la pyramide régulière suivante arrondi au centième près.

Comme on nous dit qu’il s’agit d’une pyramide régulière, cela signifie que la base de la pyramide est un polygone régulier. Et donc, nous savons que les longueurs de tous les côtés du triangle à la base seront de 14 centimètres. Pour trouver le volume d’une pyramide, nous calculons un tiers multiplié par l’aire de la base multipliée par la hauteur.

Commençons par travailler sur l’aire de ce triangle à la base de la pyramide. Pour trouver l’aire d’un triangle, nous calculons une fois et demie la base fois la hauteur. Si nous regardons de plus près ce triangle, nous savons qu’il aura les trois côtés de 14 centimètres. Ce qui signifie que nous connaissons la longueur de base, mais nous ne connaissons pas la hauteur de ce triangle. Comme nous avons un triangle rectangle, nous pourrions appliquer le théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore nous dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Alors, utilisons le théorème de Pythagore pour calculer la hauteur de notre triangle. Nous pouvons définir ici la hauteur comme étant la valeur inconnue de 𝑥. Donc, l’hypoténuse ici, 𝑐 au carré, sera de 14 au carré, ce qui équivaut à 𝑥 au carré, plus sept au carré puisque sept est la moitié de 14. Et nous utilisons la plus petite moitié du triangle de base d’origine.

L’évaluation des carrés puis, nous avons 196 égal à 𝑥 au carré plus 49. Nous réorganisons ensuite en soustrayant 49 des deux côtés de l’équation, nous donnant 147 égal à 𝑥 au carré. Et nous prenons ensuite la racine carrée des deux côtés pour nous donner la racine carrée de 147 égal à 𝑥. Nous allons conserver notre réponse sous cette forme racine carrée tout au long de la question.

Donc, maintenant, nous avons déterminé que la hauteur du triangle est la racine carrée de 147. Nous pouvons calculer l’aire de ce triangle en utilisant la formule. Ainsi, notre aire est égale à la moitié de la base, qui est 14, et multipliée par la hauteur, qui est la racine carrée de 147. Nous pouvons alors simplifier ce calcul à sept multiplié par la racine carrée de 147. Nous pourrions à ce étape évaluer cela à l’aide d’une calculatrice, mais comme nous avons encore besoin de travailler sur le volume, nous pouvons le garder dans ce format de sept racine 147.

Maintenant, nous avons calculé l’aire du triangle — c’est l’aire de la base de la pyramide — nous pouvons maintenant aller de l’avant et déterminer le volume de la pyramide. Ainsi, notre volume est égal à un tiers multiplié par l’aire de la base, qui est sept racine 147, multipliée par la hauteur de la pyramide, qui est de 17 centimètres. En utilisant notre calculatrice, nous pouvons évaluer cela comme 480.93277 et ainsi de suite. Et l’arrondi au centième le plus proche signifie que nous vérifions notre troisième chiffre décimal pour voir s’il est égal ou supérieur à cinq. Et comme ce n’est pas le cas, alors notre réponse reste 480.93. Et nos unités seront ici en centimètres cubes.

Dans la dernière question, on nous donnera le volume d’une pyramide et la hauteur, et nous devrons déterminer le périmètre du polygone à la base de la pyramide.

Étant donné qu’une pyramide carrée a un volume de 372 centimètres cubes et une hauteur de 31 centimètres, déterminez le périmètre de sa base.

Modélisons donc notre pyramide carrée avec un volume de 372 centimètres cubes. La hauteur de 31 centimètres fait référence à la hauteur perpendiculaire de la pyramide. On nous demande de déterminer le périmètre de la base de cette pyramide carrée. C’est la distance tout autour de l’extérieur.

Voyons ce que nous savons du volume d’une pyramide. On peut rappeler que le volume d’une pyramide est égal au tiers multiplié par l’aire de la base multipliée par la hauteur. Cela ne nous aidera pas directement à déterminer le périmètre. Mais si nous pouvions déterminer l’aire de la base, nous pourrions alors aller de l’avant et déterminer le périmètre. Commençons donc par compléter les informations que nous connaissons dans cette formule.

Cela nous donnera 372 — c’est le volume de la pyramide — est égal à un tiers de l’aire fois la base 31, qui est la hauteur de la pyramide. Nous pouvons simplifier le côté droit en écrivant un tiers multiplié par 31 comme 31 sur trois. Nous voulons ensuite isoler l’aire de la base, donc nous effectuons l’opération inverse pour multiplier par 31 sur trois. Et c’est de diviser par 31 sur trois, ce qui équivaut à multiplier par trois sur 31. Donc, nous avons 372 fois trois sur 31 est égal à l’aire de la base.

Nous pouvons alors évaluer cela sans calculatrice en remarquant que 31 va dans 372 12 fois. Cela signifie que l’aire de la base est égale à 12 fois trois, ce qui fait 36 centimètres carrés. Donc, maintenant que nous avons calculé l’aire du carré sur la base, nous pouvons l’utiliser pour calculer la longueur des côtés et, par conséquent, pour calculer le périmètre.

Donc, si nos longueurs latérales sont 𝑥 par 𝑥, cela signifie que l’aire 𝑥 au carré serait égale à 36. Par conséquent, la longueur 𝑥 est égale à la racine carrée de 36, qui est de six centimètres. Et donc, le périmètre, qui est la distance autour de l’extérieur de ce carré, est égal à six plus six plus six plus six, ce qui fait 24 centimètres.

Maintenant, résumons ce que nous avons appris dans cette vidéo. Nous rappelons que les pyramides sont des formes géométriques tridimensionnelles où la base est un polygone et tous les autres côtés sont des triangles qui se rencontrent au sommet. Nous avons également examiné la signification d’une pyramide droite et d’une pyramide régulière.

Nous avons vu que le volume d’une pyramide est un tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur. Nous avons écrit ceci comme une formule selon laquelle le volume d’une pyramide est égal à un tiers multiplié par l’aire de la base multipliée par la hauteur. Et enfin, comme nous l’avons vu dans l’un de nos exemples, il peut arriver que nous ayons besoin d’utiliser le théorème de Pythagore pour nous aider à calculer des dimensions inconnues.