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Vidéo de question : Déterminer le rapport des masses volumiques de fluides dans un manomètre à colonne de liquide Physique

Le schéma illustre un tube en forme de U contenant à la fois de l’eau et de l’huile, qui sont non miscibles. La pression atmosphérique agit de manière égale sur les sommets des colonnes d’eau et d’huile. Quelle est la relation entre les rapports des masses volumiques de l’huile et de l’eau, 𝜌_(huile)/𝜌_(eau), et des hauteurs ℎ₁ et ℎ₂ ? [A] 𝜌_(huile)/𝜌_(eau) = ℎ₂/ℎ₁ (B) 𝜌_(huile)/𝜌_(eau) = ℎ₁/(ℎ₁ + ℎ₂) (C) 𝜌_(huile)/𝜌_(eau) = ( ℎ₁ + ℎ₂)/(ℎ₁ × ℎ₂) (D) 𝜌_(huile)/𝜌_(eau) = ℎ₁/ℎ₂ (E) 𝜌_(huile)/𝜌_(eau) = ℎ₂/(ℎ₁ + ℎ₂)

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Transcription de vidéo

Le schéma illustre un tube en forme de U contenant à la fois de l’eau et de l’huile, qui sont non miscibles. La pression atmosphérique agit de manière égale sur les sommets des colonnes d’eau et d’huile. Quelle est la relation entre les rapports des masses volumiques de l’huile et de l’eau, 𝜌 indice huile sur 𝜌 indice eau, et des hauteurs ℎ un et ℎ deux ? (A) 𝜌 indice huile sur 𝜌 indice eau est égal à ℎ deux divisé par ℎ un. (B) 𝜌 indice huile sur 𝜌 indice eau est égal à ℎ un divisé par ℎ un plus ℎ deux. (C) 𝜌 indice huile sur 𝜌 indice eau est égal à ℎ un plus ℎ deux divisé par ℎ un fois ℎ deux. (D) 𝜌 indice huile sur 𝜌 indice eau est égal à ℎ un divisé par ℎ deux. (E) 𝜌 indice huile sur 𝜌 indice eau est égal à ℎ deux divisé par ℎ un plus ℎ deux.

Sur notre schéma, nous voyons en effet ce tube en forme de U rempli de deux fluides, de l’huile et de l’eau. La colonne d’huile a une hauteur égale à ℎ deux. Et si nous suivons une ligne horizontale du bas de la colonne d’huile jusqu’à l’eau, alors la hauteur de la colonne d’eau au-dessus de cette ligne du côté opposé du tube est ℎ un. Notre question concerne le rapport des masses volumiques de ces fluides. La masse volumique 𝜌 d’un fluide et sa hauteur ℎ sont reliées par cette équation à la pression générée par un tel fluide. Cette équation nous dit, par exemple, que la pression générée par notre colonne d’huile, c’est-à-dire la pression vers le bas exercée ici par l’huile, est égale à la masse volumique de l’huile multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par la hauteur de la colonne d’huile.

Parce que l’huile et l’eau sont non miscibles, c’est-à-dire qu’ils ne se mélangent pas, il y a ici une limite évidente entre les deux fluides. Si nous regardons de l’autre côté de notre tube en forme de U à la même altitude, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. La quantité d’eau sous la ligne rose du côté droit de notre tube, c’est-à-dire cette quantité d’eau ici, est exactement égale à la quantité d’eau sous cette ligne horizontale rose de l’autre côté de notre tube. Par conséquent, la pression le long de cette ligne horizontale rose pointillée est constante. Plus précisément, la pression ici du côté gauche est identique à la pression ici du côté droit.

Libérons un peu de place à l’écran pour travailler. Et nous pouvons remarquer qu’au-dessus de ce point sur le côté gauche de notre tube se trouve une colonne d’huile de hauteur ℎ deux. Cette colonne crée une pression, nous l’appellerons 𝑃 indice huile, de la masse volumique de l’huile multipliée par l’accélération due à la gravité fois ℎ deux. Si nous suivons alors cette droite horizontale jusqu’au même point d’élévation du côté droit de notre tube, nous voyons que ce point est en-dessous d’une colonne d’eau de hauteur ℎ un. Cela produit également une pression, nous l’appellerons 𝑃 indice eau. Et elle est égale à la masse volumique de l’eau fois 𝑔 fois ℎ un.

Comme nous l’avons vu précédemment, la pression en tout point à l’intérieur du tube en forme de U le long de la ligne rose est la même. Cela signifie que la pression due à la colonne d’huile de hauteur ℎ deux est égale à la pression due à la colonne d’eau de hauteur ℎ un. Par conséquent, nous pouvons dire que 𝜌 indice huile fois 𝑔 fois ℎ deux égale 𝜌 indice eau fois 𝑔 fois ℎ un. Notez que l’accélération due à la gravité est commune aux deux côtés de cette équation. Par conséquent, si nous divisons les deux côtés par 𝑔, ce facteur s’annulera.

Nous nous rapprochons maintenant de notre réponse. Rappelons que nous voulons déterminer le rapport de 𝜌 indice huile sur 𝜌 indice eau. Si nous divisons les deux côtés de cette équation restante par 𝜌 indice eau fois ℎ deux, alors à gauche, la hauteur ℎ deux s’annule, et à droite 𝜌 indice eau s’annule. Cela nous laisse avec ce résultat : la masse volumique de l’huile divisée par la masse volumique de l’eau est égale à ℎ un divisé par ℎ deux. En examinant nos choix de réponse, nous voyons que cela correspond au choix (D). C’est alors notre réponse. Et notez que la hauteur ℎ un est plus petite que la hauteur ℎ deux. Cela nous indique que la masse volumique de notre huile est inférieure à la masse volumique de l’eau.

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