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Vidéo question :: Utiliser le rapport de sinus pour trouver le cosinus d’un angle Mathématiques • Première secondaire

Calculez cos 𝜃 sachant que sin 𝜃 = −3/5, avec 270 ° ≤ 𝜃 < 360°.

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Transcription de la vidéo

Calculez cosinus 𝜃 sachant que sinus 𝜃 est égal à moins trois sur cinq, avec 𝜃 est supérieur ou égal à 270 degrés, mais inférieur à 360 degrés.

Pour commencer à résoudre ce problème, je vais utiliser un petit aide-mémoire comme vous l’avez peut-être vu, c’est SOH CAH TOA. Et nous allons en fait regarder la première partie. Donc, ce que cela nous dit, c’est que le sinus d’un angle ou le sinus de 𝜃 est égal à l’opposé divisé par l’hypoténuse. Donc, c’est dans un triangle rectangle. Il nous dit que les valeurs que vous auriez, c’est-à-dire le sinus de 𝜃, sont égales à l’opposé divisé par l’hypoténuse.

Ainsi, nous pouvons dire que si sinus 𝜃 est égal à moins trois sur cinq, cela signifierait que notre opposé sera égal à trois et notre hypoténuse va être égale à cinq. Il y a aussi le signe négatif à prendre en compte. Mais nous allons y réfléchir un peu plus tard dans la solution.

Et maintenant, dessinons un petit croquis pour montrer réellement ce que cette valeur nous dit. Donc, si nous avons un triangle rectangle, nous pouvons voir que l’opposé est trois et l’hypoténuse est cinq. Mais que pouvons-nous faire pour trouver l’adjacent ? Eh bien, ce que nous pouvons faire en réalité, c’est utiliser le théorème de Pythagore, car nous pouvons dire que A va être égal à la racine carrée de cinq au carré parce que c’est notre hypoténuse au carré moins trois au carré car c’est l’un de nos côtés les plus courts au carré. Et nous obtenons cela d’une version réarrangée de 𝑎 carré plus 𝑏 carré égal à 𝑐 carré, où nous avons 𝑎 carré est égal à 𝑐 carré moins 𝑏 carré, où 𝑐 est l’hypoténuse.

D’accord, super ! Nous pouvons donc résoudre ce problème et trouver A. Nous obtenons donc que A est égal à la racine 16. Donc, en fin de compte A est égal à quatre. Maintenant, la raison pour laquelle nous voulions trouver le côté adjacent est à cause de cette deuxième partie de notre SOH CAH TOA. C’est le CAH parce que nous essayons de trouver le cosinus. Nous voulons donc utiliser CAH, qui nous dit que le cosinus de 𝜃 ou n’importe quel angle est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse.

D’accord, mais nous pouvons maintenant utiliser cela parce que nous avons l’adjacent, que nous venons de trouver. Et nous connaissons déjà l’hypoténuse. On peut donc dire que cosinus 𝜃 est égal à A sur H. Alors, nous pouvons dire que cosinus 𝜃 est égal à quatre cinquièmes. Mais est-ce la réponse finale ? Je veux donc attirer votre attention sur le signe négatif que nous avons examiné plus tôt. Sinus 𝜃 était égal à moins trois cinquièmes. Donc, en fin de compte, cosinus 𝜃 peut-il être égal à quatre cinquièmes ou moins quatre cinquièmes ?

Et nous allons jeter un coup d’œil au diagramme CAST pour expliquer quelle est la réponse. Eh bien, j’ai dessiné un croquis du diagramme CAST. Et ce que cela nous dit réellement est quelque chose de vraiment important. Il nous indique où sont notre sinus, notre cosinus ou notre tangente d’un angle sont positifs et où ils seront négatifs. Et le A représente tout. Nous pouvons donc dire que toutes les valeurs comprises entre zéro et 90 degrés seront positives. Nous pouvons dire que les valeurs comprises entre 90 et 180 ne seront positives que si on considère sinus 𝜃. On peut dire qu’entre 180 et 270 degrés, le sinus sera positif si on considère tangente 𝜃. Et on peut dire que seul cosinus 𝜃 sera positif entre 270 et 360 degrés.

Eh bien, si nous regardons la question initiale, nous pouvons voir que c’est en fait cette dernière section, 270 degrés à 360 degrés, qui nous intéresse réellement. Nous pouvons donc voir à partir du diagramme CAST qu’en fait dans ce secteur, le cosinus de 𝜃 serait positif. Et en fait, ce que nous avons dit est que le sinus 𝜃 était égal à moins trois sur cinq ? Eh bien, oui, ce serait vrai parce qu’en regardant le diagramme CAST on ne voit que la section en haut à gauche, où sinus 𝜃 serait positif. Nous pouvons donc dire que cosinus 𝜃 est égal à quatre cinquièmes.

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