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Vidéo question :: Définir une suite arithmétique à partir d’informations sur ses termes Mathématiques • Deuxième secondaire

Déterminez une suite arithmétique vérifiant 𝑎₁ = 13 et 𝑎_(18𝑛) = 18𝑎_(𝑛).

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Transcription de la vidéo

Déterminez une suite arithmétique vérifiant 𝑎 un égale 13 et 𝑎 18𝑛 égale 18 fois 𝑎 𝑛.

Commençons par rappeler qu’une suite arithmétique est une suite dont la différence entre les termes consécutifs est constante. Le terme général ou de rang 𝑛 d’une suite arithmétique peut être trouvé en utilisant la formule 𝑎 𝑛 égale 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois 𝑟, où 𝑎 un est le premier terme de la suite et 𝑟 est sa raison. Cette question nous indique que le premier terme 𝑎 un est égal à 13. Et que 𝑎 18𝑛 est égal à 18 fois 𝑎 𝑛.

En utilisant la formule générale, 𝑎 18𝑛 est égal à 𝑎 un plus 18𝑛 moins un fois 𝑟, et 18 fois 𝑎 𝑛 est égal à 18 fois 𝑎 un plus 𝑛 moins un fois 𝑟. On peut remplacer 𝑎 un par 13 et poser les deux membres de droite égaux. On a 13 plus 18𝑛 moins un fois 𝑟 égale 18 fois 13 plus 𝑛 moins un fois 𝑟. En développant les parenthèses sur le membre gauche, on obtient 18𝑛𝑟 moins 𝑟. Et sur le membre droit, 𝑛 moins un fois 𝑟 égale 𝑛𝑟 moins 𝑟.

On peut alors multiplier l’expression entre parenthèses par 18. Ce qui donne 234 plus 18𝑛𝑟 moins 18𝑟. Et cela est égal à 13 plus 18𝑛𝑟 moins 𝑟. On peut ensuite soustraire 18𝑛𝑟 aux deux membres de l’équation. Ce qui donne 13 moins 𝑟 égale 234 moins 18𝑟. On ajoute ensuite 18𝑟 et on soustrait 13 aux deux membres de l’équation. 17𝑟 est donc égal à 221. En divisant enfin les deux membres de cette équation par 17, on trouve que 𝑟 est égal à 13. La raison de la suite arithmétique est de 13.

Et puisque le premier terme de la suite est 13, on peut y ajouter la raison pour calculer le deuxième terme. Il est égal à 26. Le troisième terme de la suite est 39, et ainsi de suite. Nous pouvons donc conclure que la suite arithmétique de premier terme 13, telle que 𝑎 18𝑛 est égal à 18 fois 𝑎 𝑛 est la suite 13, 26, 39, et ainsi de suite.

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