Vidéo question :: Déterminer l’équation d’une courbe compte tenu du coefficient directeur de sa tangente et d’un point de sa courbe impliquant l’utilisation de l’intégration par substitution Mathématiques

Transcription de la vidéo

Une courbe passe par le point zéro, sept divisé par 15 et la tangente en son point de coordonnées 𝑥, 𝑦 a pour coefficient directeur de huit 𝑥 multipliée par la racine carrée de deux 𝑥 plus un. Quelle est l’équation de la courbe ?

La question nous dit que la courbe passe par le point zéro, sept quinzièmes, et sa tangente au point 𝑥, 𝑦 a pour coefficient directeur de huit 𝑥 multipliée par la racine carrée de deux 𝑥 plus un. Nous rappelons que si le coefficient directeur a l’équation huit 𝑥 multipliée par la racine carrée de deux 𝑥 plus un, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à huit 𝑥 multiplié par la racine carrée de deux 𝑥 plus un. En particulier, cela nous dit que l’équation de la courbe que nous voulons trouver, 𝑦, est une primitive de huit 𝑥 multipliée par la racine carrée de deux 𝑥 plus un. Ainsi, en prenant l’intégrale de huit 𝑥 multipliée par la racine carrée de deux 𝑥 plus un par rapport à 𝑥, nous trouverons une équation de 𝑦 avec notre constante d’intégration.

Nous voyons que notre terme à intégrer n’est pas sous la forme standard que nous pouvons intégrer. Donc, nous allons devoir regarder cela d’un peu plus près. Nous pourrions être tentés d’utiliser l’intégration par parties. Cependant, nous allons le faire en utilisant la substitution 𝑢 est égal à deux 𝑥 plus un. Ainsi, en utilisant la substitution 𝑢 est égal a deux 𝑥 plus un et en calculant les dérivées des deux membres par rapport à 𝑥, la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 est égale à deux. Et bien que d𝑢 sur d𝑥 ne soit pas une fraction, c’est un peu comme une fraction lors de l’utilisation de l’intégration par substitution. Ceci nous donne l’affirmation équivalente un demi de d𝑢 est égal à d𝑥.

Nous voyons que notre terme à intégrer contient un facteur de huit 𝑥. Donc, nous allons manipuler notre expression de 𝑢 égale deux 𝑥 plus un pour obtenir une expression pour huit 𝑥 en fonction de 𝑢. La multiplication des deux membres de cette équation par quatre nous donne que quatre 𝑢 est égal à huit 𝑥 plus quatre. Ensuite, nous soustrayons quatre des deux membres de l’équation pour obtenir que quatre 𝑢 moins quatre est égal à huit 𝑥. Ainsi, en utilisant notre substitution 𝑢 est égal à deux 𝑥 plus un, nous avons notre intégrale égale à l’intégrale de quatre 𝑢 moins quatre multiplié par la racine carrée de 𝑢 multiplié par un demi par rapport à 𝑢.

Maintenant, nous pouvons distribuer nos parenthèses et utiliser le fait que la racine carrée de 𝑢 est égale à 𝑢 à la puissance un demi pour réorganiser notre intégrale pour être l’intégrale de deux multipliée par 𝑢 à la puissance trois sur deux moins deux multiplié par 𝑢 à la puissance un demi par rapport à 𝑢. Nous pouvons maintenant intégrer cela directement en rappelant les constantes 𝑎 et 𝑛 avec 𝑛 qui n’est pas égale à moins un, pour intégrer 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥, nous ajoutons un à l’exposant puis nous divisons par ce nouvel exposant plus notre constante d’intégration 𝑐. Pour intégrer notre premier terme, nous ajoutons un à l’exposant, ce qui nous donne cinq sur deux. Ensuite, au lieu de diviser par ce nouvel exposant, nous allons multiplier par l’inverse.

De même, pour intégrer notre deuxième terme, nous ajoutons un à l’exposant, ce qui nous donne trois sur deux. Ensuite, au lieu de diviser par notre nouvel exposant, nous allons multiplier par l’inverse. Ensuite, au lieu d’ajouter une constante d’intégration pour nos deux termes, nous ajouterons une constante d’intégration, que nous appellerons 𝑐. À ce stade, nous pouvons remarquer que le premier terme et notre deuxième terme partagent un facteur commun de quatre 𝑢 à la puissance trois sur deux. Alors, factorisons cela. En factorisant quatre multiplié par 𝑢 à la puissance trois sur deux à partir de notre premier terme, on obtient 𝑢 divisé par cinq. Et factoriser quatre multiplié par 𝑢 à la puissance trois sur deux à partir de notre deuxième terme nous laisse avec moins un tiers.

Nous sommes maintenant prêts à réécrire notre équation en fonction de 𝑥 en remplaçant 𝑢 est égal à deux 𝑥 plus un. Nous pouvons simplifier davantage en réécrivant nos fractions pour qu’elles aient un dénominateur commun. Cela nous donne six 𝑥 plus trois sur 15 moins cinq sur 15 dans notre deuxième ensemble de parenthèses. Ensuite, nous pouvons calculer cela pour donner six 𝑥 moins deux divisé par 15. Maintenant, nous voyons que les deux termes de notre numérateur partagent un facteur commun de deux. Alors, factorisons cela. Cela nous donne que notre courbe 𝑦 est égale à huit multiplié par deux 𝑥 plus un à la puissance trois sur deux multiplié par trois 𝑥 moins un divisé par 15 plus notre constante d’intégration 𝑐.

La question nous dit que la courbe passe par le point zéro, sept quinzièmes. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à sept divisé par 15. Donc, en utilisant 𝑥 est égal à zéro et 𝑦 est égal à sept sur 15 dans notre équation pour la courbe cela nous donne sept quinzièmes est égal à huit multiplié par deux multiplié par zéro. Plus un à la puissance trois sur deux multiplié par trois multiplié par zéro moins un sur 15 plus notre constante d’intégration 𝑐. Nous avons alors deux multiplié par zéro plus un est égal à un, puis un à la puissance trois sur deux est également égal à un. Ensuite, nous avons trois multiplié par zéro moins un, le tout divisé par 15, est égal à moins un divisé par 15.

Donc, cela nous donne sept divisé par 15 est égal à moins huit divisé par 15 plus notre constante d’intégration 𝑐. Ainsi, nous ajoutons huit sur 15 aux deux membres de notre équation, et nous voyons que notre constante d’intégration 𝑐 est égale à un. Par conséquent, après un petit réarrangement, nous avons montré que si une courbe passe par le point zéro, sept quinzièmes et la tangente au point 𝑥, 𝑦 a pour coefficient directeur de huit 𝑥 multiplié par la racine carrée de deux 𝑥 plus un. Alors, son équation est 𝑦 est égal à huit divisé par 15 multiplié par deux 𝑥 plus un à la puissance trois sur deux multiplié par trois 𝑥 moins un plus un.