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Vidéo de question : Déterminer la valeur d’une inconnue en évaluant les fonctions trigonométriques appliquées à des angles spéciaux Mathématiques

Calculez la valeur de 𝑥 sachant que 9𝑥 = cos²60° tan²60° tan²30°.

03:15

Transcription de vidéo

Trouvez la valeur de 𝑥 sachant que neuf 𝑥 égale cosinus carré de 60 degrés fois tan carré de 60 degrés fois tan carré de 30 degrés.

Dans cette question, il y a trois fonctions trigonométriques d’angles spéciaux. Ce sont des résultats que nous devons connaître par cœur. Et heureusement, il y a une bonne façon de nous en souvenir. Cela implique de dessiner un tableau, et nous écrivons sin 𝜃, cos 𝜃, tan 𝜃 de haut en bas à gauche. En haut, nous écrivons 30, 45 et 60 degrés. Ensuite, nous écrivons un, deux, trois et trois, deux, un. Nous ajoutons un dénominateur de deux à toutes ces fractions. Puis la dernière étape pour sin 𝜃 et cos 𝜃 est de prendre la racine carrée de chaque numérateur.

Bien sûr, la racine carrée de un est simplement un. Et ainsi, le sin de 30 degrés et le cos de 60 degrés sont tous deux un demi. Maintenant, tan 𝜃 égale sin 𝜃 divisé par cos 𝜃. Donc pour trouver tan de 30 degrés, nous divisons sin de 30 degrés par cos de 30 degrés. Mais bien sûr, comme les dénominateurs sont les mêmes, pour faire cela, nous divisons simplement les numérateurs. Et nous constatons donc que tan de 30 égale un sur racine de trois, tan de 45 égale racine de deux sur racine de deux, soit simplement un, et tan de 60 égale racine de trois sur un, soit racine de trois.

Nous pouvons maintenant utiliser ce tableau pour trouver les valeurs de cos de 60, tan de 60 et tan de 30 degrés. Nous pouvons voir que cos de 60 est égal à un demi. Puis tan de 60 égale racine carrée de trois. Et tan de 30 égale un sur racine de trois. Notre équation dit que neuf 𝑥 est égal à cos carré de 60 — soit un demi au carré ; rappelez-vous, cos carré de 60 est la même chose que cos de 60 au carré — fois tan carré de 60, soit racine de trois au carré, fois tan carré de 30, soit un sur racine de trois au carré.

Maintenant, pour élever une fraction au carré, nous élevons tout simplement au carré le numérateur et le dénominateur. Donc un demi au carré égale un quart. Ensuite, le carré d’une racine carrée est simplement le nombre original. Donc le carré de la racine de trois égale trois. De même, le carré de un sur racine de trois égale le carré de un sur le carré de la racine carrée de trois. Soit un tiers. Et puis nous voyons que trois fois un tiers se simplifie en un.

Ainsi, notre équation devient neuf 𝑥 égale un quart fois un ou simplement neuf 𝑥 égale un quart. Nous résolvons cette équation en divisant les deux côtés par neuf. Mais bien sûr, diviser par neuf revient à multiplier par un neuvième. Donc 𝑥 doit être égal à un quart fois un neuvième, ce qui est égal à un sur 36. Et donc la valeur de 𝑥 sachant que neuf 𝑥 est égal à cos carré de 60 fois tan carré de 60 fois tan carré de 30 est un sur 36.

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