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Vidéo question :: Déterminer les composantes d’un vecteur donné sous forme polaire Mathématiques • Première secondaire

Si 𝐎𝐂 = (4√3, 3𝜋 / 4) est le vecteur position, dans la forme polaire, du point 𝐶 par rapport à l’origine 𝑂, alors déterminez les coordonnées 𝑥 𝑦 du point 𝐶.

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Transcription de la vidéo

Si 𝐎𝐂 égal à quatre racine de trois, trois 𝜋 sur quatre est le vecteur position dans la forme polaire du point 𝐶 par rapport à l’origine 𝑂, déterminez les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du point 𝐶.

Ok, donc si c’est le plan 𝑥𝑦, ici à l’origine est le point 𝑂, puis ce vecteur 𝐎𝐂 nous indique les coordonnées d’un point 𝐶 par rapport à cette origine. On nous dit en outre que ce vecteur position nous est donné sous forme polaire. Ainsi écrit, la première valeur est une distance radiale, souvent appelée 𝑟. Et la deuxième valeur est un angle mesuré par rapport à l’axe des 𝑥 positifs.

En général alors, si nous avions un point situé dans le plan 𝑥𝑦 et que nous connaissions la distance radiale à l’origine de ce point, ainsi que la distance angulaire de l’axe des 𝑥 positifs, alors nous connaîtrions le vecteur position de ce point sous forme polaire. Nous savons cependant qu’une autre façon de montrer où ce point est situé est de donner ses coordonnées 𝑥 et 𝑦.

Lorsque nous réfléchissons à la façon de calculer ces valeurs en utilisant 𝑟 et 𝜃, ce dessin nous montre que puisque l’abscisse 𝑥 de notre point est égale à cette longueur ici et que cette longueur constitue le côté d’un triangle rectangle adjacent à 𝜃, cela signifie que 𝑥 est égal à 𝑟 fois le cosinus de 𝜃. Et de même, l’ordonnée 𝑦 de ce point, qui est égale à cette distance verticale ici, correspond au côté du triangle opposé à notre angle 𝜃. Cela signifie que l’ordonnée 𝑦 de notre point est égale à 𝑟 fois le sinus de 𝜃.

Donc, revenons à notre question, pour trouver les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du point 𝐶, nous pouvons dire que 𝑥 est égal à 𝑟 cosinus 𝜃 et 𝑦 est égal à 𝑟 sinus 𝜃, où notre valeur 𝑟 donnée est quatre fois la racine carrée de trois et 𝜃 est trois 𝜋 sur quatre. Nous notons que cet angle trois 𝜋 sur quatre divise en deux le deuxième quadrant. Par conséquent, le sinus de cet angle sera positif, tandis que le cosinus sera négatif. Et cela est logique parce que, dans le deuxième quadrant, notre valeur 𝑥 est inférieure à zéro, alors que notre valeur 𝑦 est supérieure à zéro. Le cosinus de trois 𝜋 sur quatre est égal à moins racine carrée de deux sur deux, tandis que le sinus de cet angle a la même valeur mais est positif.

Lorsque nous substituons à ces valeurs et multiplions, nous constatons que 𝑥 est égal à moins deux fois racine carrée de six, tandis que 𝑦 est plus deux racine de six. Sur notre graphique, ces points ressembleraient à ceci, indiquant que ce point est le point 𝐶. Les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de ce point sont moins deux racine de six, plus deux racine de six.

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