Vidéo : Combinaisons linéaires, espaces engendrés, vecteurs de base

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Combinaisons linéaires, espaces engendrés, vecteurs de base

09:58

Transcription de vidéo

Dans la dernière vidéo, avec les notions d’addition vectorielle et de multiplication scalaire, j’ai décrit les coordonnées vectorielles, où il y a un va-et-vient entre, par exemple, des paires de nombres et des vecteurs bidimensionnels. Maintenant, j’imagine que beaucoup de vous connaissaient déjà les coordonnées vectorielles, mais il existe un autre moyen intéressant de penser à ces coordonnées, qui est assez central pour l’algèbre linéaire. Lorsque vous avez une paire de nombres destinée à décrire un vecteur, par exemple trois et moins deux, je souhaite que vous considériez chaque coordonnée comme un scalaire, ce qui signifie que vous devez étendre ou réduire la taille des vecteurs. Dans le système de coordonnées 𝑥𝑦, il y a deux vecteurs très spéciaux : l’un pointant vers la droite avec la longueur un, communément appelé 𝑖 chapeau ou le vecteur unitaire dans la direction des 𝑥, et l’une pointant vers le haut, avec une longueur un, communément appelé 𝑗 chapeau, ou le vecteur unitaire dans la direction des 𝑦.

Maintenant, pensez à la coordonnée 𝑥 de notre vecteur comme un scalaire qui modifie la taille de 𝑖 chapeau, l’étirant par un facteur trois, et la coordonnée 𝑦 comme un scalaire qui redimensionne 𝑗 chapeau, le renversant et l’étirant par un facteur deux. En ce sens, les vecteurs décrits par ces coordonnées sont la somme de deux vecteurs mis à l’échelle.

C’est un concept étonnamment important, cette idée d’ajouter ensemble deux vecteurs mis à l’échelle. Ces deux vecteurs, 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau, ont d’ailleurs un nom spécial. Ensemble, ils s’appellent la base d’un système de coordonnées. Ce que cela signifie, en gros, c’est que lorsque vous considérez les coordonnées comme des scalaires, les vecteurs de base correspondent à ce que ces scalaires, en fait, vous mettez à l’échelle. Il existe également une définition plus technique, mais j’y reviendrai plus tard. En définissant notre système de coordonnées en fonction de ces deux vecteurs de base spéciaux, cela soulève un point assez intéressant et subtil. Nous aurions pu choisir différents vecteurs de base et obtenir un nouveau système de coordonnées tout à fait raisonnable. Par exemple, prenons un vecteur pointant vers le haut et à droite, ainsi qu’un autre vecteur pointant vers le bas et vers la droite. Prenez un moment pour réfléchir à tous les différents vecteurs que vous pouvez obtenir en choisissant deux scalaires, en utilisant chacun d’eux pour redimensionner l’un des vecteurs, puis en additionnant ce que vous obtenez. Quels vecteurs bidimensionnels pouvez-vous atteindre en modifiant le choix des scalaires ? La réponse est que vous pouvez atteindre tous les vecteurs bidimensionnels possibles, et je pense que c’est un bon casse-tête de comprendre pourquoi.

Une nouvelle paire de vecteurs de base comme cela nous donne encore un moyen valable pour aller et venir entre des paires de nombres et des vecteurs à deux dimensions, mais l’association est certainement différente de celle que vous obtenez en utilisant la base standard de 𝑖 chapeau et 𝑗 chapeau. C’est quelque chose que je détaillerai beaucoup plus tard, décrivant la relation exacte entre différents systèmes de coordonnées. Mais pour le moment, je veux juste que vous compreniez le fait que chaque fois que nous décrivons des vecteurs numériquement, cela dépend d’un choix implicite de la base de vecteurs que nous utilisons. Ainsi, chaque fois que vous mettez à l’échelle deux vecteurs et que vous les ajoutez comme ceci, cela s’appelle une combinaison linéaire de ces deux vecteurs.

D’où vient ce mot « linéaire » ? Pourquoi cela a-t-il quelque chose à voir avec les droites ? Eh bien, ce n’est pas l’étymologie, mais j’aime bien y penser. Si vous corrigez l’un de ces scalaires et laissez l’autre modifié librement, le sommet du vecteur résultant dessine une ligne droite. Maintenant, si vous laissez les deux scalaires s’étendre librement et que vous considérez tous les vecteurs possibles, deux choses peuvent se produire: pour la plupart des paires de vecteurs, vous pourrez atteindre tous les points possibles du plan ; chaque vecteur à deux dimensions est à votre portée. Cependant, dans le cas malheureux où vos deux vecteurs d’origine s’alignent, l’extrémité du vecteur résultant est limitée à cette seule droite passant par l’origine. En fait, techniquement, il existe une troisième possibilité également : vos deux vecteurs peuvent être nuls, auquel cas vous seriez bloqué à l’origine. Voici quelques termes supplémentaires : l’ensemble de tous les vecteurs possibles que vous pouvez atteindre avec une combinaison linéaire d’une paire de vecteurs donnée est appelé l’espace engendré par ces deux vecteurs.

Donc, pour reprendre ce que nous venons de voir dans ce jargon, l’espace engendré par la plupart des paires de vecteurs 2D correspond à tous les vecteurs de l’espace 2D, mais lorsqu’ils s’alignent, leur espace engendré correspond à tous les vecteurs dont la pointe repose sur une certaine droite. Rappelez-vous comment j’ai dit que l’algèbre linéaire tourne autour de l’addition de vecteur et de la multiplication scalaire ? L’espace engendré par deux vecteurs est essentiellement une façon de demande : « Quels sont tous les vecteurs possibles que vous pouvez atteindre en utilisant seulement ces deux opérations fondamentales, l’addition de vecteurs et la multiplication scalaire ? » C’est le bon moment pour parler de la façon dont les gens pensent habituellement les vecteurs comme des points. Il devient très encombré de penser à toute une collection de vecteurs portée sur une droite et d’autres encore à penser à tous les vecteurs bidimensionnels en même temps, remplissant ainsi le plan. Ainsi, lorsqu’il s’agit de collections de vecteurs comme celle-ci, il est courant de représenter chacune d’elles avec un seul point dans l’espace. Le point à la pointe de ce vecteur où, comme d’habitude, je veux que vous réfléchissiez à ce vecteur avec sa queue sur l’origine. De cette façon, si vous voulez penser à tous les vecteurs possibles dont la pointe se situe sur une certaine droite, pensez à la droite elle-même.

De même, pour envisager tous les vecteurs bidimensionnels possibles en même temps, conceptualisez-les chacun comme le point où se situe leur extrémité. Donc, en fait, vous allez penser à la feuille infinie et plate de l’espace bidimensionnel lui-même, en laissant les flèches hors d’elle. En général, si vous pensez à un vecteur seul, considérez-le comme une flèche et si vous avez affaire à une collection de vecteurs, il convient de les considérer tous comme des points. Ainsi, pour notre exemple, l’espace engendré de la plupart des paires de vecteurs finit par être la feuille entière infinie de l’espace à deux dimensions, mais si elles s’alignent, leur espace engendré n’est qu’une droite. L’idée de l’espace engendré devient beaucoup plus intéressante si nous commençons à penser à des vecteurs dans un espace tridimensionnel. Par exemple, si vous prenez deux vecteurs dans un espace 3D qui ne pointent pas dans la même direction, que signifie prendre leur espace engendré ? Eh bien, leur espace engendré est la collection de toutes les combinaisons linéaires possibles de ces deux vecteurs, ce qui signifie que vous obtenez tous les vecteurs possibles en mettant à l’échelle chacun des deux d’une manière ou une autre, puis en les additionnant.

Vous pouvez en quelque sorte imaginer tourner deux boutons différents pour modifier les deux scalaires définissant la combinaison linéaire, en ajoutant les vecteurs mis à l’échelle et en suivant l’extrémité du vecteur résultant. Cette astuce va tracer une sorte de feuille plate, coupant à travers l’origine de l’espace tridimensionnel. Cette feuille plate est l’espace engendré par les deux vecteurs, ou plus précisément, l’ensemble de tous les vecteurs possibles dont les extrémités reposent sur cette feuille plate est l’espace engendré de vos deux vecteurs. N’est-ce pas une belle image mentale ? Alors que se passe-t-il si nous ajoutons un troisième vecteur et considérons la durée de vie de ces trois types ? Une combinaison linéaire de trois vecteurs est définie à peu près de la même manière que pour deux ; vous choisirez trois scalaires différents, mettrez à l’échelle chacun de ces vecteurs, puis vous les ajouterez tous ensemble. Et encore une fois, l’espace engendré par ces vecteurs est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles. Deux choses différentes pourraient se produire ici : si votre troisième vecteur se trouve sur l’espace engendré des deux premiers, l’espace engendré ne change pas ; vous êtes en quelque sorte pris au piège sur la même feuille plate. En d’autres termes, l’ajout d’une version mise à l’échelle de ce troisième vecteur à la combinaison linéaire ne vous donne pas vraiment accès à de nouveaux vecteurs. Mais si vous choisissez un troisième vecteur au hasard, il n’est certainement pas sur le même espace engendré que les deux premiers. Puis, comme il pointe dans une direction distincte, il ouvre l’accès à tous les vecteurs possibles en trois dimensions.

J’aime penser à cela, car à mesure que vous redimensionnez ce troisième vecteur, celui-ci se déplace autour de la feuille engendrée par les deux premiers, le balayant dans tout l’espace. Une autre façon de le penser est de tirer pleinement parti des trois scalaires qui changent librement dont vous disposez pour accéder aux trois dimensions de l’espace. Maintenant, dans le cas où le troisième vecteur était déjà situé sur l’espace engendré par les deux premiers, ou dans le cas où deux vecteurs s’alignent, nous voulons une terminologie décrivant le fait qu’au moins un de ces vecteurs est redondant, et non ajouter quelque chose à notre espace engendré. Lorsque cela se produit, lorsque vous avez plusieurs vecteurs et que vous pouvez en supprimer un sans réduire l’espace engendré, la terminologie appropriée est de dire qu’ils sont « linéairement dépendants ».

Une autre façon de formuler serait de dire que l’un des vecteurs peut être exprimé comme une combinaison linéaire des autres, puisqu’il est déjà dans l’espace des autres. D’un autre côté, si chaque vecteur ajoute réellement une autre dimension à l’étendue, il est dit qu’il est « linéairement indépendant ». Donc, avec toute cette terminologie et, espérons-le, avec quelques bonnes images mentales, je vous laisse avec le casse-tête avant de partir. La définition technique de la base d’un espace est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants couvrant cet espace. Maintenant, étant donné la façon dont j’ai décrit une base plus tôt et compte tenu de votre compréhension actuelle des expressions « espace engendré » et « linéairement indépendant », réfléchissez à la raison pour laquelle cette définition aurait un sens. Dans la vidéo suivante, je vais entrer dans les matrices et transformer l’espace. À plus tard !

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