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Vidéo de question : Construire une matrice connaissant la relation entre ses éléments Mathématiques

Soit 𝐴 une matrice d’ordre 3 × 2, où 𝑎₁₁ = 0, 𝑎₁₂ = 𝑎₃₁ - 3, 𝑎₂₁ = 4, 𝑎₂₂ = 1/2 𝑎₁₁, 𝑎₃₁ = 8 et 𝑎₃₂ = 1/4 𝑎₂₁, déterminez 𝐴.

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Transcription de vidéo

Soit 𝐴 est une matrice d’ordre trois par deux, où 𝑎 indice un un est égal à zéro, 𝑎 indice un deux est égal à 𝑎 indice trois un moins trois, 𝑎 indice deux un est égal à quatre, 𝑎 indice deux deux est un égal à un demi de 𝑎 indice un un, 𝑎 indice trois un est égal à huit et 𝑎 indice trois deux est égal au quart de 𝑎 indice deux un, déterminez la matrice 𝐴.

La première information qui nous est donnée dans la question est que cette matrice 𝐴 est d’ordre trois par deux. Rappelez-vous que l’ordre d’une matrice est synonyme de ses dimensions, et que la convention est de lister les lignes en premier et les colonnes en second. Ainsi, une matrice d’ordre trois par deux possède trois lignes et deux colonnes. Nous pouvons alors commencer et écrire la structure de notre matrice 𝐴. Elle comporte trois lignes et deux colonnes. Et donc, nous voyons qu’il y a six éléments que nous avons besoin de renseigner.

Maintenant, nous avons reçu quelques informations supplémentaires sur chacun des éléments de notre matrice 𝐴. Et pour utiliser ces informations, nous devons rappeler qu’une minuscule 𝑎 suivie de l’indice 𝑚𝑛 désigne l’élément de la matrice majuscule 𝐴, qui est à la ligne 𝑚 et dans la colonne 𝑛. Comme lorsque l’on donne l’ordre d’une matrice, la convention est telle que nous listons les lignes en premier et les colonnes en second. Regardons alors les informations qui nous ont été données.

Premièrement, on nous dit que 𝑎 indice un un est égal à zéro. Donc, c’est l’élément de la première ligne et de la première colonne de la matrice 𝐴. C’est cet élément-ci. Donc, nous pouvons continuer en remplissant avec un zéro, et nous avons trouvé un élément de notre matrice. Maintenant, l’affirmation suivante exprime l’élément 𝑎 indice un deux en fonction de l’élément 𝑎 indice trois un que nous ne connaissons pas encore. Nous allons donc ignorer cette affirmation pour le moment. L’assertion suivante nous dit que 𝑎 indice deux un est égal à quatre. Donc, c’est l’élément de la deuxième ligne et de la première colonne de notre matrice 𝐴. C’est cet élément-ci. Nous pouvons donc renseigner cet élément.

Maintenant, l’affirmation suivante exprime l’élément 𝑎 indice deux deux en fonction de l’élément 𝑎 indice un un que nous connaissons. Mais nous reviendrons sur cette affirmation plus tard parce que l’affirmation suivante, 𝑎 indice trois un égale huit, nous parle explicitement d’un autre élément de notre matrice. Elle nous dit que l’élément de la troisième ligne et de la première colonne est égal à huit, donc cet élément-ci. Nous pouvons donc le renseigner. Et nous avons maintenant la première colonne complète de notre matrice 𝐴. Maintenant, considérons chacune des affirmations que nous n’avons pas utilisées.

Premièrement, 𝑎 indice un deux est égal à 𝑎 indice trois un moins trois. 𝑎 indice un deux est l’élément de la première ligne et de la deuxième colonne de notre matrice ; c’est cet élément-ci. Et 𝑎 indice trois un est l’élément de la troisième ligne et de la première colonne. C’est celui-ci ici. Donc, nous pouvons dire que l’élément 𝑎 un deux est égal à huit moins trois, ce qui est égal à cinq. Ensuite, nous pouvons utiliser l’affirmation 𝑎 indice deux deux est égal à un demi de 𝑎 indice un un. Donc, ceci signifie que l’élément de la deuxième ligne et de la deuxième colonne, qui est cet élément-ci, est égal à la moitié de l’élément de la première ligne et de la première colonne. Nous avons un demi multiplié par zéro, ce qui est égal à zéro.

Enfin, nous pouvons utiliser la dernière affirmation ; 𝑎 indice trois deux est égal au quart de 𝑎 indice deux un. Donc, ceci nous dit que l’élément de la troisième ligne et de la deuxième colonne qui est cet élément-ci, est égal au quart de l’élément de la deuxième ligne et de la première colonne. C’est cet élément-ci. Nous avons alors un quart de quatre ou un quart fois quatre, ce qui équivaut à un. Nous avons ainsi terminé le problème. La matrice 𝐴 est égale à la matrice zéro, cinq, quatre, zéro, huit, un.

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