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Vidéo question :: Identifier les représentations graphiques des équations exponentielles Mathématiques • Deuxième secondaire

Laquelle des courbes suivantes a pour équation 𝑦 = −4(2)^(𝑥) ?

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Transcription de la vidéo

Laquelle des courbes suivantes a pour équation 𝑦 égale moins quatre fois deux à la puissance 𝑥 ?

On voit qu'on nous donne quatre représentations graphiques différentes. Il faut déterminer laquelle de ces courbes représente cette fonction exponentielle. Il existe deux manières différentes d'aborder cette question. La première consiste à examiner à quoi ressemblerait la fonction 𝑦 égale deux puissance 𝑥. On pourrait dresser un tableau de valeurs, puis sélectionner quelques valeurs 𝑥 différentes et calculer les valeurs 𝑦 correspondantes. Donc lorsque 𝑥 est nul, 𝑦 est égale à deux à la puissance zéro. Et comme toute valeur à la puissance zéro est un, on a donc une valeur 𝑦 égale un. Quand 𝑥 est égale à un, la valeur 𝑦 correspondante est deux puissance un, ce qui correspond simplement à deux. Quand la valeur de 𝑥 est deux, la valeur de 𝑦 vaut quatre. Et quand la valeur 𝑥 est trois, la valeur de 𝑦 est huit.

On peut donc dessiner un graphique rapide de la courbe passant par les points zéro, un ; un, deux ; deux, quatre ; et trois, huit. Ensuite, il faut étudier comment la fonction 𝑦 égale deux puissance 𝑥 se distingue de la fonction 𝑦 égale moins quatre fois deux puissance 𝑥. On rappelle qu'une fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑐 fois 𝑏 puissance 𝑥 est un étirement vertical de coefficient 𝑐 de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥. On peut également noter que ce graphique de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑐 fois 𝑏 puissance 𝑥 passera par le point zéro, 𝑐. Par ailleurs, dans cette fonction, nous avons une valeur correspondante à 𝑐 de moins quatre, qui est négative. Et donc, il y a aussi une autre transformation qui est appliquée.

On peut dire que lorsque 𝑐 est inférieur à zéro, la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑏 puissance 𝑥 subit une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses puis une dilatation verticale avec un coefficient de 𝑐 unités. Examinons à quoi ressemblerait cette fonction 𝑦 égale deux puissance 𝑥 après seulement la symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses. Voici donc la fonction 𝑦 égale moins deux puissance 𝑥. On peut voir par exemple que le point de coordonnées zéro, un a subi une symétrie axiale vers le point de coordonnées zéro, moins un. On doit encore effectuer cette dilatation verticale. Et voilà la fonction 𝑦 égale moins quatre fois deux puissance 𝑥. On remarque que l'ordonnée à l'origine est à zéro, moins quatre. Donc, parmi les quatre graphiques (A), (B), (C) ou (D), quel est celui qui indique la même forme et les mêmes caractéristiques que le graphique que nous avons dessiné ?

Même si les deux graphiques (C) et (D) ont la même forme générale, seule l'option (D) présente la même ordonnée à l'origine zéro, moins quatre. On peut donc répondre que le graphique (D) représente cette fonction. Une autre méthode pour trouver la réponse consiste à utiliser les options de réponse disponibles. Il s'agit de déterminer les valeurs 𝑥 et 𝑦 de certaines coordonnées de la fonction donnée, puis de vérifier les différentes fonctions représentées pour voir lesquelles passent par ces coordonnées. Prenons les valeurs 𝑥 zéro, un et deux. Quand 𝑥 est égale à zéro, la valeur 𝑦 correspondante est égale à moins quatre fois deux puissance zéro. Ce qui donne moins quatre fois un, et donc 𝑦 égale moins quatre. Le point de coordonnées zéro, moins quatre appartient au graphe de la fonction.

Nous pouvons maintenant éliminer les réponses (A) et (C), car les deux seules fonctions qui passent par le point de coordonnées zéro, moins quatre sont les graphiques (B) et (D). Nous devons chercher au moins une autre coordonnée pour déterminer quel graphe est correct. Donc, lorsque 𝑥 est égale à un, on a une valeur de 𝑦 égale à moins quatre fois deux puissance un. C'est moins quatre fois deux, ce qui donne moins huit. Le point de coordonnées un, moins huit appartient au graphe de l'option (D). Cependant, elle ne figure pas dans l'option (B). On n'a pas besoin de calculer d'autres valeurs de coordonnées pour répondre que c'est l'option (D) qui représente la fonction 𝑦 égale moins quatre fois deux puissance 𝑥.

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