Vidéo question :: Déterminer des expressions équivalentes impliquant des combinaisons et des arrangements Mathématiques

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Laquelle des expressions suivantes est égale à 𝑛𝐶 un fois six 𝑛𝐶 six sur sept 𝑛𝐶 sept ? (A) Six 𝑛A six sur sept 𝑛 moins sept A sept. (B) Six 𝑛A six sur sept 𝑛 moins un A six. (C) Six 𝑛A six sur sept 𝑛 moins sept A six. (D) Six 𝑛A six sur sept 𝑛 moins un A sept.

Presque immédiatement, nous remarquons que l’expression initiale est exprimée en termes de combinaisons, trois combinaisons différentes, alors que tous les choix de réponses sont donnés comme une expression en termes d’arrangements. Nous devons donc réécrire ces combinaisons en termes de d’arrangements. Mais d’abord, nous remarquons ce 𝑛𝐶 un, et les propriétés des combinaisons nous disent que 𝑛𝐶 un est égal à 𝑛. Pour choisir un élément d’une série de 𝑛, il y a 𝑛 différentes façons de le faire. Donc, dans la première étape, nous allons substituer 𝑛 à 𝑛𝐶 un.

Dans la prochaine étape, nous voudrons réécrire ces combinaisons comme des arrangements. Nous pouvons le faire en reconnaissant que 𝑛𝐶𝑟 est égal à 𝑛A𝑟 sur factorielle 𝑟, ce qui signifie que nous avons 𝑛 fois six 𝑛A six sur factorielle six divisé par sept 𝑛A sept sur factorielle sept. Et puis à la place de cette division, nous multiplierons par l’inverse de telle sorte que nous ayons 𝑛 fois six 𝑛A six sur factorielle six fois factorielle sept sur sept 𝑛A sept. Nous avons factorielle six au dénominateur et factorielle sept au numérateur. Rappelons que nous pouvons réécrire factorielle sept comme sept fois factorielle six. Cela signifie que factorielle sept sur factorielle six se simplifie en sept. De là, nous avons sept 𝑛 fois six 𝑛A six sur sept 𝑛A sept.

Notez qu’aucun des quatre choix de réponse n’a un terme sept 𝑛, ce qui signifie que nous devons réfléchir à un moyen de simplifier davantage. Pour ce faire, nous remarquons que nous avons un terme sept 𝑛 et un 𝑛 égal à sept 𝑛. Une propriété des arrangements nous dit que 𝑛A𝑟 est égal à 𝑛 fois 𝑛 moins un A 𝑟 moins un. Cela signifie que sept 𝑛A sept égale sept 𝑛 fois sept 𝑛 moins un A sept moins un. Et au lieu de sept moins un, nous aurons six. Au dénominateur, au lieu de sept 𝑛A sept, nous pouvons substituer le terme sept 𝑛 fois sept 𝑛 moins un A six. Et puis les sept 𝑛 au numérateur et au dénominateur s’éliminent, ce qui nous donne une forme simplifiée de six 𝑛A six sur sept 𝑛 moins un A six, qui est l’option (B).