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Si 𝑥 est égal à 𝑒 puissance moins 𝑡 et 𝑦 est égal au sinus 𝑡, alors déterminez la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.
Dans cette question, on nous demande de déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Cependant, 𝑦 n’est pas donné sous la forme d’une fonction de 𝑥. Au lieu de cela, on nous donne deux équations paramétriques exprimées en fonction de la variable 𝑡. Cela nous indique que nous ne pouvons pas simplement dériver deux fois 𝑦 par rapport à 𝑥 pour déterminer d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Nous allons en fait devoir utiliser la dérivation paramétrique.
Commençons donc par rappeler comment déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 quand 𝑦 est une fonction de 𝑡 et 𝑥 une fonction de 𝑡. Nous pouvons faire cela en utilisant la formule suivante. La dérivée seconde est égale à la dérivée de d𝑦 par d𝑥 par rapport à 𝑡 divisée par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡. Et il y a un autre point à noter ici. Dans cette formule, on utilise d𝑦 sur d𝑥. Et nous ne pouvons pas directement déterminer d𝑦 sur d𝑥 car 𝑦 est une fonction de 𝑡 et 𝑥 est une fonction de 𝑡.
Il va falloir nous souvenir d’une autre formule pour d𝑦 sur d𝑥. Ou nous pouvons dériver cette expression en utilisant une application de la règle de dérivation en chaine. Rappelons qu’il est possible de déterminer d𝑦 sur d𝑥 en prenant d𝑦 sur d𝑡 et en divisant ceci par d𝑥 sur d𝑡. Et même si les expressions du type d𝑦 sur d𝑥, d𝑦 sur d𝑡 et d𝑥 sur d𝑡 ne sont pas des fractions, nous pouvons les utiliser un peu comme des fractions pour nous souvenir plus facilement de certains résultats. Par exemple, en utilisant ces expressions comme des fractions, nous pouvons multiplier par l’inverse. Nous pouvons ensuite simplifier le facteur commun d𝑡 au numérateur et au dénominateur. Il nous reste alors d𝑦 sur d𝑥. Et évidemment, ce n’est pas exactement ce qui se passe. Mais c’est une bonne astuce pour nous souvenir de ce résultat.
Donc, pour déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, il faut commencer par déterminer d𝑦 sur d𝑥. Et pour cela, il faut dériver 𝑦 par rapport à 𝑡 et 𝑥 par rapport à 𝑡. Commençons donc par déterminer la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡. Cette dérivée est égale à la dérivée de sinus de 𝑡 par rapport à 𝑡. Pour faire cela, rappelons que la dérivée de la fonction sinus est juste la fonction cosinus. Donc, la dérivée est simplement égale à cosinus 𝑡.
Déterminons maintenant la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡. C’est égal à la dérivée de 𝑒 puissance moins 𝑡 par rapport à 𝑡. Pour faire cela, rappelons que pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée de 𝑒 puissance 𝑎 fois 𝜃 par rapport à 𝜃 est 𝑎 fois 𝑒 puissance 𝑎𝜃. Nous avons multiplié par le coefficient de la variable dans l’exposant. Dans ce cas, ce coefficient est moins un. Donc, nous obtenons juste moins 𝑒 puissance moins 𝑡.
Maintenant que nous avons déterminé d𝑦 sur d𝑡 et d𝑥 sur d𝑡, nous pouvons prendre leur quotient pour déterminer d𝑦 sur d𝑥. Cela nous donne alors que la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à cosinus 𝑡 divisé par moins 𝑒 puissance moins 𝑡. Et nous pouvons simplifier cela en utilisant les propriétés des exposants pour faire passer 𝑒 puissance moins 𝑡 au numérateur. Nous obtenons moins 𝑒 puissance 𝑡 fois cosinus 𝑡. Nous pouvons maintenant remplacer les expressions de d𝑦 sur d𝑥 et d𝑥 sur d𝑡 dans la formule de d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Mais nous allons avoir une expression très compliquée. Alors, calculons d’abord le numérateur.
Il faut dériver l’expression de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑡. Cela signifie que nous devons déterminer la dérivée de moins 𝑒 puissance 𝑡 fois cosinus 𝑡 par rapport à 𝑡. C’est la dérivée du produit de deux fonctions dérivables. Nous allons donc devoir utiliser la règle de dérivation du produit. Cette règle dit que si 𝑓 de 𝑡 et 𝑔 de 𝑡 sont des fonctions dérivables, alors la dérivée de 𝑓 de 𝑡 multipliée par 𝑔 de 𝑡 par rapport à 𝑡 est égale à 𝑓 prime de 𝑡 fois 𝑔 de 𝑡 plus 𝑓 de 𝑡 multipliée par 𝑔 prime de 𝑡. Donc, pour appliquer la règle de dérivation du produit, nous allons devoir déterminer les expressions de la dérivée de ces deux fonctions.
Commençons par la dérivée de moins 𝑒 puissance 𝑡. 𝑓 prime de 𝑡 sera égale à moins 𝑒 puissance 𝑡. De même, si nous définissons 𝑔 de 𝑡 égale à cosinus 𝑡, alors nous savons que la dérivée de la fonction cosinus est moins la fonction sinus. Nous obtenons donc 𝑔 prime de 𝑡 égale moins sinus 𝑡. En remplaçant ces expressions dans la règle du produit, nous obtenons moins 𝑒 puissance 𝑡 fois cosinus 𝑡 plus moins 𝑒 puissance 𝑡 multiplié par moins sinus 𝑡. Et nous pouvons simplifier cette expression. Dans le deuxième terme, moins un fois moins un est égal à un. Il nous reste moins 𝑒 puissance 𝑡 fois cosinus 𝑡 plus 𝑒 puissance 𝑡 fois sinus 𝑡. Nous pouvons également factoriser par le facteur commun 𝑒 puissance 𝑡. Nous avons alors 𝑒 puissance 𝑡 multipliée par sinus 𝑡 moins cosinus 𝑡.
Nous n’avons pas encore terminé. Rappelons-nous que nous devons toujours diviser cela par d𝑥 sur d𝑡 pour déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Donc, faisons un peu de place et remplaçons ces expressions dans la formule. Nous obtenons que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑒 puissance 𝑡 multiplié par sinus 𝑡 moins cosinus 𝑡, le tout divisé par moins 𝑒 puissance de moins 𝑡. Et nous pouvons simplifier cette expression. D’abord, si on divise par 𝑒 puissance moins 𝑡, cela revient à multiplier par 𝑒 puissance 𝑡. Cela nous donne deux facteurs 𝑒 puissance 𝑡 au numérateur. Nous pouvons simplifier et nous obtenons 𝑒 puissance deux 𝑡. Et en prenant le facteur moins un au numérateur, nous obtenons moins 𝑒 puissance deux 𝑡 multiplié par sinus 𝑡 moins cosinus 𝑡.
Maintenant, tout ce qui reste à faire est de distribuer le signe moins dans les parenthèses, puis de réorganiser les deux termes entre parenthèses. Cela nous donne alors notre résultat final. Donc nous avons montré que si 𝑥 égal 𝑒 puissance moins 𝑡 et 𝑦 égal sinus 𝑡, alors la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑒 puissance deux 𝑡 multiplié par cosinus 𝑡 moins sinus 𝑡.
