Vidéo de la leçon: Produit matriciel Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier les conditions du produit matriciel, et à calculer le produit de deux matrices, si cela est possible. Rappelons qu’une matrice est un tableau souvent composé de nombres que l’on appelle coefficients, mais une matrice peut également être constituée de symboles ou d’expressions. On utilise souvent des majuscules pour représenter les matrices. On peut décrire la taille d’une matrice par sa dimension. Si une matrice possède 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes, on dit qu’il s’agit d’une matrice 𝑚 fois 𝑛. Par exemple, cette matrice est de dimension deux fois deux et cette matrice est de dimension trois fois quatre.

Il existe deux types de multiplication de matrices : la multiplication par un scalaire et le produit matriciel. La multiplication par un scalaire consiste à multiplier une matrice par un scalaire. Cela revient simplement à multiplier une matrice par un nombre. Par exemple pour la matrice 𝐵, on peut calculer trois 𝐵 en multipliant chaque coefficient de 𝐵 par trois. Voici donc la multiplication par un scalaire. Le produit matriciel est une opération un peu plus compliquée car il consiste à multiplier des matrices entre elles. Pour effectuer un produit matriciel, nous devons faire attention aux dimensions des matrices que nous voulons multiplier ensemble. Il n’est pas toujours possible de multiplier deux matrices quelconques.

Pour le produit AB de deux matrices 𝐴 et 𝐵, si 𝐴 est de dimension 𝑚 fois 𝑛, alors 𝐵 doit être de dimension 𝑛 fois 𝑝 pour que le produit soit possible. En d’autres termes, le nombre de colonnes de la matrice 𝐴 doit être égal au nombre de lignes de la matrice 𝐵. On peut également déterminer la dimension de la matrice résultante 𝐴𝐵. Elle sera de dimension 𝑚 fois 𝑝. Montrons cela avec un exemple.

Soient la matrice 𝐴 de dimension un fois deux et la matrice 𝐵 de dimension deux fois un. Leur produit 𝐴𝐵 doit exister car 𝐴 possède le même nombre de colonnes que le nombre de lignes de la matrice 𝐵. On peut également dire que 𝐴𝐵 a pour dimension un fois un. Le produit de ces deux matrices est très similaire au produit scalaire. On commence par multiplier deux par sept, puis on ajoute trois fois un. On obtient 14 plus trois, soit 17.

Voyons maintenant un exemple plus difficile.

On considère les matrices 𝐴 et 𝐵. Calculez 𝐴𝐵, si possible.

Commençons par déterminer si le produit de ces deux matrices est possible. La matrice 𝐴 possède trois lignes et deux colonnes, et la matrice 𝐵 possède deux lignes et trois colonnes. Comme le nombre de colonnes de 𝐴 est le même que le nombre de lignes de 𝐵, nous savons que la matrice résultante existe. De plus, nous pouvons déterminer la dimension de la matrice résultante en remarquant que la matrice 𝐴 possède trois lignes et la matrice 𝐵 possède trois colonnes. La matrice résultante sera donc une matrice trois fois trois. On calcule le premier coefficient de 𝐴𝐵 en multipliant la ligne du haut de la matrice 𝐴 par la colonne de gauche de la matrice 𝐵. Et on rappelle qu’on le calcule de la même manière que le produit scalaire de la première ligne de 𝐴 avec la première colonne de 𝐵.

C’est-à-dire 11 fois moins huit plus moins deux fois moins quatre. Pour obtenir le coefficient en haut au milieu, on multiplie la ligne du haut de 𝐴 par la colonne du milieu de 𝐵. C’est-à-dire 11 fois moins neuf plus moins deux fois huit. Pour obtenir le coefficient en haut à droite, on multiplie la ligne du haut de 𝐴 par la colonne de droite de 𝐵. C’est-à-dire 11 fois six plus moins deux fois neuf. On peut alors trouver le coefficient du milieu à gauche en multipliant la ligne du milieu de 𝐴 par la colonne de gauche de 𝐵.

On calcule le coefficient tout au milieu en multipliant la ligne du milieu de 𝐴 par la colonne du milieu de 𝐵. Et on calcule le coefficient du milieu à droite en multipliant la ligne du milieu de 𝐴 par la colonne de droite de 𝐵. Et on suit le même raisonnement pour les coefficients en bas à gauche, en bas au milieu et en bas à droite. On peut ensuite simplifier chaque coefficient. Nous obtenons ainsi notre réponse finale qui est bien une matrice trois fois trois comme nous l’avions déterminé.

Il est très important de noter que le produit matriciel n’est pas commutatif. Cela signifie que 𝐴𝐵 n’est généralement pas égal à 𝐵𝐴. Nous pouvons voir pourquoi c’est le cas en considérant la dimension des matrices de l’exemple précédent. En déterminant la dimension de la matrice BA, nous voyons qu’il s’agit une matrice deux fois deux, alors que 𝐴𝐵 est une matrice trois fois trois. Nous pouvons également utiliser le produit matriciel pour calculer des puissances de matrices.

Voyons un exemple.

Sachant que 𝐴 égale moins six, un, moins cinq, cinq, calculez 𝐴 au carré.

On rappelle que 𝐴 au carré signifie simplement 𝐴 fois 𝐴. Il s’agit donc de la matrice 𝐴 multipliée par la matrice 𝐴. Comme 𝐴 est une matrice deux fois deux, nous calculons le produit d’une matrice deux fois deux par une matrice deux fois deux. Nous savons que cela est possible car le nombre de colonnes de la matrice 𝐴 est égal au nombre de lignes de la matrice 𝐴. Et la matrice résultante sera une matrice deux fois deux. On calcule le coefficient en haut à gauche de la matrice résultante en multipliant la ligne du haut de la première matrice par la colonne de gauche de la deuxième matrice. Soit moins six fois moins six plus un fois moins cinq.

On trouve ensuite le coefficient en haut à droite en multipliant la ligne du haut de la première matrice par la colonne de droite de la deuxième matrice, c’est-à-dire moins six fois un plus un fois cinq. On calcule ensuite le coefficient en bas à gauche en multipliant la ligne du bas de la première matrice par la colonne de gauche de la deuxième matrice. Cela fait moins cinq fois moins six plus cinq fois moins cinq. Et on trouve le coefficient en bas à droite en multipliant la ligne du bas de la première matrice par la colonne de droite de la deuxième matrice. Soit moins cinq fois un plus cinq fois cinq.

Et on calcule maintenant chacun de ces produits. Nous devons être très prudents ici car il y a beaucoup de signes négatifs. On peut ensuite simplifier pour obtenir la réponse finale. 𝐴 au carré est égale à 31, moins un, cinq, 20. Remarquez que nous pouvons utiliser ce raisonnement pour calculer des puissances supérieures de 𝐴. Par exemple, nous pourrions calculer 𝐴 au cube en multipliant 𝐴 au carré par 𝐴 à droite. Cela ressemblerait à ceci.

Voyons à présent un autre exemple de produit matriciel.

Sachant que 𝐴 égale moins trois, moins sept, moins un, trois, quatre, un et que 𝐵 égale six, moins quatre, trois, calculez 𝐴𝐵 si possible.

On rappelle que pour la multiplication des matrices 𝐴 et 𝐵, si 𝐴 est de dimension 𝑚 fois 𝑛, où 𝑚 est le nombre de lignes et 𝑛 le nombre de colonnes, alors 𝐵 doit être de dimension 𝑛 fois 𝑝 pour que le produit matriciel existe. En d’autres termes, le nombre de colonnes de la matrice 𝐴 doit être égal au nombre de lignes de la matrice 𝐵. La matrice 𝐴 possède deux lignes et trois colonnes, donc elle est de dimension deux fois trois. La matrice 𝐵 possède trois lignes et une colonne, donc elle est de dimension trois fois un. Comme le nombre de colonnes de 𝐴 est le même que le nombre de lignes de 𝐵, leur produit existe.

Et nous pouvons déterminer la dimension de la matrice résultante. Pour 𝐴 de dimension 𝑚 fois 𝑛 et 𝐵 de dimension 𝑛 fois 𝑝, 𝐴𝐵 est de dimension 𝑚 fois 𝑝. Pour cette question, nous pouvons donc dire que la matrice résultante sera de dimension deux fois un. Il est toujours utile de vérifier ce point avant de commencer un calcul de produit matriciel pour éviter de faire des erreurs.

Multiplions donc ces matrices. On trouve le coefficient du haut de 𝐴𝐵 en multipliant la première ligne de 𝐴 par la colonne de 𝐵. C’est-à-dire moins trois fois six plus moins sept fois moins quatre plus moins un fois trois. Et on obtient le coefficient du bas en multipliant la deuxième ligne de 𝐴 par la colonne de 𝐵. Soit trois fois six plus quatre fois moins quatre plus un fois trois. On peut alors calculer ces produits et simplifier pour obtenir la réponse finale. Tout comme nous l’avions prédit, la matrice résultante 𝐴𝐵 est de dimension deux fois un.

Nous pouvons également utiliser le produit matriciel pour déterminer des coefficients inconnus de matrices. Par exemple, supposons que le produit des matrices trois, deux, cinq, 𝑥 et un, trois est égal à neuf, moins un. Nous savons que le neuf provient de la multiplication de la ligne du haut de la première matrice avec la colonne de la deuxième matrice. Et que le moins un provient de la multiplication de la ligne du bas de la première matrice avec la colonne de la deuxième matrice. C’est-à-dire cinq fois un plus 𝑥 fois trois. Nous savons donc que cinq plus trois 𝑥 doit être égal à moins un. Donc trois 𝑥 égale moins six. Par conséquent, 𝑥 est égal à moins deux.

Voyons maintenant un exemple plus compliqué.

Déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 à partir de l’équation suivante : la matrice un, trois, moins deux, un fois la matrice deux, zéro, 𝑥, 𝑦 est égal à la matrice huit, moins neuf, moins deux, moins trois.

Pour résoudre ce problème en 𝑥 et 𝑦, nous pouvons considérer comment certains des coefficients de la matrice résultante sont obtenus. Commençons par le coefficient en haut à gauche, qui est huit. Nous savons que le huit a été obtenu par la multiplication de la ligne du haut de la première matrice et de la colonne de gauche de la deuxième matrice. C’est-à-dire un fois deux plus trois fois 𝑥 égale huit ou deux plus trois 𝑥 égale huit. On obtient alors trois 𝑥 égale six en soustrayant deux aux deux membres. Et nous trouvons que 𝑥 doit être égal à deux.

Maintenant, si nous cherchons comment le moins neuf a été obtenu ; comme il s’agit du coefficient en haut à droite, il correspond à la multiplication de la ligne du haut de la première matrice avec la colonne de droite de la deuxième matrice. C’est-à-dire, un fois zéro plus trois fois 𝑦 doit être égal à moins neuf. Cela se simplifie par trois 𝑦 égale moins neuf. Par conséquent, 𝑦 doit être égal à moins trois. Nous pouvons alors confirmer notre réponse en vérifiant que ces valeurs de 𝑥 et 𝑦 fonctionnent pour les valeurs de la deuxième ligne de la matrice résultante.

Pour obtenir la valeur en bas à gauche de la matrice résultante, moins deux, on doit multiplier la ligne du bas de la première matrice par la colonne de gauche de la deuxième matrice. C’est-à-dire moins deux fois deux plus un fois 𝑥, ou deux, égale moins deux. Cela nous donne moins quatre plus deux égale moins deux, ce qui est vrai. Donc, notre valeur de 𝑥 est correcte. Et nous pouvons vérifier le coefficient en bas à droite de la matrice résultante en multipliant la ligne du bas de la première matrice par la colonne de droite de la deuxième matrice. C’est-à-dire moins deux fois zéro plus un fois moins trois égale moins trois. Soit zéro plus moins trois égale moins trois, ce qui est vrai. Nous savons donc que notre valeur de 𝑦 est également correcte. Lorsque possible, il est toujours de bonne pratique de confirmer les valeurs que vous avez trouvées pour 𝑥 et 𝑦.

Résumons maintenant les principaux points de cette vidéo. Il existe deux types de multiplication de matrices : la multiplication par un scalaire et le produit matriciel. Le produit matriciel n’est pas commutatif. Pour deux matrices 𝐴 et 𝐵, 𝐴 fois 𝐵 n’est généralement pas égal à 𝐵 fois 𝐴. Le produit matriciel n’est possible que lorsque le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la deuxième matrice. Et nous pouvons utiliser les dimensions des deux matrices que nous multiplions pour trouver la dimension de la matrice résultante. Nous pouvons alors utiliser le produit matriciel pour calculer des puissances de matrices. Ainsi que pour déterminer des inconnues dans des équations matricielles en considérant comment certains coefficients de la matrice résultante ont été obtenus.