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Vidéo question :: Déterminer l’écart-type d’une série statistique présentée dans un tableau des effectifs Mathématiques • Troisième préparatoire

Le tableau montre la répartition des buts marqués dans la première moitié de la saison de football. Déterminez l’écart-type du nombre de buts marqués. Si nécessaire, donnez votre réponse au millième près.

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Transcription de la vidéo

Le tableau montre la répartition des buts marqués dans la première moitié de la saison de football. Déterminez l’écart-type du nombre de buts marqués. Si nécessaire, donnez votre réponse au millième près.

En observant le tableau qui nous a été fourni, nous constatons que les données ont été présentées sous forme de tableau des effectifs. La première ligne indique le nombre de buts marqués et la deuxième ligne indique le nombre de matches au cours desquels ce nombre de buts a été marqué, autrement dit, les effectifs. Ainsi, il y a eu cinq matchs au cours desquels aucun but n'a été marqué. Nous pourrions donc ajouter les notations 𝑥 𝑖 pour représenter les données, qui sont le nombre de buts, et 𝑓 𝑖 pour représenter les effectifs.

Il nous est demandé de trouver l'écart-type du nombre de buts marqués, qui est une mesure de la dispersion des données autour de leur valeur moyenne. Nous rappelons que pour une série statistique 𝑋 contenant les valeurs 𝑥 un, 𝑥 deux, jusqu'à 𝑥 𝑛 avec les effectifs correspondants 𝑓 un, 𝑓 deux, jusqu'à 𝑓 𝑛 et la moyenne 𝜇, l'écart-type, que nous désignons par 𝜎 𝑋, est donné par 𝜎 𝑋 égale la racine carrée de ∑ de un jusqu'à 𝑛 de 𝑥 𝑖 moins 𝜇 au carré multiplié par 𝑓 i sur ∑ de un jusqu'à 𝑛 de 𝑓 i.

Il faut également rappeler que la moyenne d'une série statistique présentée dans un tableau des effectifs, 𝜇, est donnée par ∑ de un jusqu'à 𝑛 de 𝑥 𝑖 multiplié par 𝑓 𝑖 sur ∑ de un jusqu'à 𝑛 de 𝑓 i.

Pratiquement, ce que cela signifie lorsque nous calculons l'écart type d'une série statistique présentée dans un tableau des effectifs, est que nous calculons d'abord la moyenne 𝜇. Ensuite, nous la soustrayons de chaque valeur 𝑥 et nous mettons au carré le résultat. Nous multiplions par l'effectif correspondant à cette valeur 𝑥 et nous trouvons ∑ Nous divisons ensuite cette quantité par ∑ des effectifs. Enfin, nous prenons la racine carrée.

Nous pouvons étendre le tableau qui nous a été donné afin de continuer le processus.. La première chose que nous devons trouver pour calculer la moyenne est le produit de chaque valeur 𝑥 par son effectif correspondant. Nous avons zéro fois cinq, ce qui est zéro ; un fois deux, soit deux ; trois fois sept, soit 21 ; quatre fois sept, soit 28 ; et six fois quatre, soit 24. La ∑ de ces valeurs, et on parle de la ∑ de 𝑖 de un jusqu'à cinq parce qu'il y a cinq valeurs 𝑥 dans la série statistique, est 75.

Nous devons aussi calculer l'effectif total en additionnant les valeurs de la deuxième ligne du tableau, cinq plus deux plus sept plus quatre, soit 25.

Pour trouver la moyenne, nous divisons la ∑ de chaque valeur 𝑥 multipliée par son effectif, qui est de 75, par l'effectif total de 25 donnant 𝜇 est égal à trois. Nous avons donc calculé la moyenne et il nous faut maintenant calculer l'écart-type. Dans la ligne suivante de notre tableau, nous allons soustraire la moyenne trois de chaque valeur 𝑥. Cela donne moins trois, moins deux, zéro, un, trois.

Dans la ligne suivante du tableau, nous élevons au carré chacune de ces valeurs, ce qui donne neuf, quatre, zéro, un et neuf. Pour finir, nous multiplions chacune de ces valeurs par l'effectif de cette valeur 𝑥. Nous multiplions donc les valeurs de la cinquième ligne de notre tableau par les valeurs de la deuxième ligne, ce qui donne 45, huit, zéro, sept et 36.

Revenons maintenant à la formule de l'écart-type : le numérateur de la fraction située sous la racine carrée est la ∑ de chaque valeur 𝑥 𝑖 moins la moyenne au carré fois l'effectif. En additionnant les valeurs de la dernière ligne du tableau, nous obtenons 96. Ce sera donc le numérateur de la fraction. Nous avons déjà trouvé que l'effectif total est de 25.

Nous avons donc que l'écart-type 𝜎 𝑋 est égal à racine carrée de 96 sur 25. Sous une forme exacte, cela se simplifie en quatre racine carrée de six sur cinq. Seulement, il faut donner notre réponse au millième près. Ainsi, en calculant sous forme décimale, nous obtenons 1.9595 etc. La quatrième décimale est un cinq, donc nous arrondissons à la valeur supérieure.

Ainsi, nous avons trouvé que l'écart type du nombre de buts marqués au cours de la première moitié de la saison de football, à trois décimales près, est de 1.960.

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