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Vidéo de question : Analyse du mouvement d’un corps sur un plan horizontal relié par deux chaines passant par des poulies connectées à deux corps suspendus verticalement Mathématiques

Une boîte de masse de 33 g s’appuyait sur une table horizontale lisse avec une poulie lisse fixée à chaque extrémité. Une chaine légère inextensible passée sur l’une des poulies, P_(𝐴), et qui liait la boîte au corps 𝐴 de masse 26 g qui pendait librement verticalement en dessous de la poulie. Une autre chaine similaire est passée sur la poulie P_(𝐵) et qui liait la boîte au corps 𝐵 de masse 24 g pendant librement verticalement au-dessous de cette poulie. Le système est ensuite libéré du repos. Calculez la force exercée sur les deux poulies, P_(𝐴) et 𝑃_(𝐵), en arrondissant le résultat au centièmes près. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Une boîte de masse de 33 g s’appuyait sur une table horizontale lisse avec une poulie lisse fixée à chaque extrémité. Une chaine légère inextensible passée sur l’une des poulies, indice , et qui liait la boîte au corps 𝐴 de masse 26 g qui pendait librement verticalement en dessous de la poulie. Une autre chaine similaire est passée sur la poulie indice et qui liait la boîte au corps 𝐵 de masse 24 g pendant librement verticalement au-dessous de cette poulie. Le système est ensuite libéré du repos. Calculez la force exercée sur les deux poulies, 𝑃 indice 𝐴 et 𝑃 indice 𝐵, en arrondissant votre réponse au centièmes près. Prenez 𝑔 égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Nous allons commencer par dessiner un schéma pour modéliser cette situation. Nous avons une boîte d’une masse de 33 grammes reposant sur une table horizontale lisse. Ceci signifie qu’il n’y aura pas de force de frottement entre la boîte et la table. On nous dit qu’une poulie sans frottements est fixée à chaque extrémité. Nous avons deux corps de masse de 26 grammes et 24 grammes suspendus librement en dessous de ces poulies, et celles-ci sont attachées par deux chaines légères inextensibles. Ceci signifie que les chaines n’ont pas de masse pour une longueur fixe. Comme la chaine est inextensible, nous savons également que l’accélération du système sera égale partout. Puisque les poulies sont lisses, les tensions dans chacune des chaines seront égales.

Pour la chaine de gauche, la tension sera 𝑇 indice 𝐴 et 𝑇 indice 𝐵 pour la chaine de droite. En calculant ces valeurs de 𝑇 indice 𝐴 et 𝑇 indice 𝐵, nous allons pouvoir trouver la force exercée sur les deux poulies. Les trois corps de masse de 33 grammes, 26 grammes, et 24 grammes auront une force de poids agissant verticalement vers le bas. Elle sera égale à la masse multipliée par la gravité. On nous dit que 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Cependant, comme les masses sont données en grammes, nous utiliserons les unités de centimètres par seconde au carré . 𝑔 est donc égal à 980. 26 multiplié par 980 est égal à 25480. Ceci signifie que le corps de 26 grammes a une force descendante de 25480 dynes. De la même manière, le corps de 24 grammes a une force descendante de 23520 dynes. La boîte de 33 grammes a une force descendante de 32340 dynes. Et elle est égale à la force de réaction normale agissant verticalement vers le haut.

Lorsque le système est libéré du repos, le corps de 26 grammes accélère vers le bas, le corps de 24 grammes accélère vers le haut et la boîte de 33 grammes accélère vers la gauche. Comme déjà mentionné, la chaine étant inextensible, cette valeur 𝑎 sera la même partout. L’intensité de l’accélération sera la même pour tout le système. En utilisant la deuxième loi de Newton, la force est égale à la masse multipliée par l’accélération, nous allons maintenant écrire trois équations à trois inconnues pour nous aider à calculer 𝑇 indice 𝐴 et 𝑇 indice 𝐵.

Après avoir dégagé de l’espace, nous commençons par considérer le corps de 26 grammes. Comme ce corps accélère vers le bas, nous considérerons que c’est la direction positive, et la somme de ses forces est égale à 25480 moins 𝑇 indice 𝐴. Ceci doit être égale à la masse multipliée par l’accélération, dans ce cas, 26𝑎. Nous pouvons réorganiser cette équation de telle sorte que 𝑇 indice 𝐴 soit égal à 25480 moins 26 𝑎. Nous appellerons cette équation un. Concentrons-nous maintenant sur le corps de 24 grammes. Puisque ce corps accélère vers le haut, nous considérerons que c’est la direction positive. Ceci signifie que la somme des forces est égale à 𝑇 indice 𝐵 moins 23520. Encore une fois, ceci est égal à la masse multipliée par l’accélération, qui est de 24𝑎. En simplifiant cette équation, nous obtenons 𝑇 indice 𝐵 est égal à 23520 plus 24𝑎. Nous appellerons cette équation deux.

Comme déjà mentionné, lorsque nous regardons la boîte de 33 grammes, nous savons que la force de réaction normale 𝑅 est égale à 32340 dynes. D’un point de vue horizontal avec la direction positive vers la gauche, la direction dans laquelle le corps accélère, la somme des forces est égale à 𝑇 indice 𝐴 moins 𝑇 indice 𝐵, et c’est égal à 33𝑎.

Nous pouvons maintenant utiliser les expressions 𝑇 indice 𝐴 et 𝑇 indice 𝐵 dans les équations un et deux de cette équation. Le membre gauche devient 25480 moins 26𝑎 moins 23520 plus 24𝑎. Et ceci doit être égal à 33𝑎. 25480 moins 23 520 est égal à 1960, et moins 26𝑎 moins 24𝑎 est égal à moins 50𝑎. L’équation se simplifie en 1960 moins 50𝑎 est égal à 33𝑎. Nous pouvons ajouter 50𝑎 aux deux membres de sorte que 83𝑎 soit égal à 1960. En divisant par 83, nous avons 𝑎 est égal à 1960 divisé par 83. L’accélération du système a une intensité de 1960 sur 83 centimètres par seconde au carré.

Nous pouvons maintenant remplacer cette valeur par les équations un et deux. En dégageant de nouveau de l’espace, nous avons 𝑇 indice A égal à 25480 moins 26 multiplié par 1960 sur 83. Ceci équivaut à 24 866,0241. Nous pouvons répéter ce processus pour 𝑇 indice 𝐵, qui est égal à 23 520 plus 24 multiplié par 1960 sur 83. En calculant avec notre calculatrice ceci nous donne 24086,74699. Ces deux tensions sont mesurées en dynes. Puisque les forces de tension agissant sur les poulies sont perpendiculaires les unes aux autres, nous pouvons utiliser un triangle des forces et le théorème de Pythagore pour calculer l’intensité de la force agissant sur la poulie elle-même. En considérant la poulie 𝐴, nous avons les deux forces de tension agissant sur la poulie comme indiqué. La force résultante 𝑃 indice 𝐴 divisera ces deux forces en deux. Nous pouvons alors créer un triangle rectangle comme indiqué.

Le théorème de Pythagore énonce que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑐 est la longueur du côté le plus long appelé hypoténuse. 𝑃 indice 𝐴 carré est donc égal à 𝑇 indice 𝐴 carré plus 𝑇 indice 𝐴 carré. Le membre de droite se simplifie en deux 𝑇 indice 𝐴 au carré. Nous pouvons alors prendre la racine carrée des deux membres de cette équation de sorte que 𝑃 indice 𝐴 soit égal à la racine carrée de deux 𝑇 indice 𝐴 au carré. Nous pouvons maintenant utiliser la valeur de 𝑇 indice 𝐴 pour calculer 𝑃 indice 𝐴. 𝑃 indice 𝐴 est égal à 35165,86852.

On nous a demandé de l’arrondir au centièmes près. La force exercée sur la poulie 𝑃 indice 𝐴 est donc égale à 35165,87 dynes. Nous pouvons répéter ce processus pour 𝑃 indice 𝐵 qui est égal à la racine carrée de deux multipliée par 𝑇 indice 𝐵 au carré. En utilisant notre valeur de 𝑇 indice 𝐵 et en arrondissant au centièmes près, nous obtenons 34063,80. La force agissant sur 𝑃 indice 𝐵 est 34063,80 dynes. Nous avons maintenant calculé les forces exercées sur les deux poulies.

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