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Vidéo question :: Déterminer tous les rapports trigonométriques des angles dans les triangles rectangles Mathématiques • Troisième préparatoire

Déterminez les rapports trigonométriques principaux de ∠𝐵, sachant que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐶, où 𝐴𝐵 = 30 cm et 𝐵𝐶 = 18 cm.

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Transcription de la vidéo

Déterminez les principaux rapports trigonométriques de l’angle 𝐵, sachant que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐶, avec 𝐴𝐵 égale 30 centimètres et 𝐵𝐶 égale 18 centimètres.

Nous avons donc un triangle rectangle ayant 𝐶 comme angle droit. Nous pouvons donc mettre 𝐴 et 𝐵 dans les deux coins qui restent. 𝐴𝐵 mesure 30 centimètres et 𝐵𝐶 18 centimètres. Donc, quand on nous demande de déterminer les principaux rapports trigonométriques en 𝐵, nous devons déterminer le sinus de 𝐵, le cosinus de 𝐵 et la tangente de 𝐵. Et les sinus, cosinus et tangente sont abrégés ici. Encore une fois, nous utilisons l’angle 𝐵 comme référence. Il nous manque cependant un côté du triangle, le côté 𝐴𝐶. Nous pouvons l’appeler 𝑥. Et nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer cette longueur manquante car c’est un triangle rectangle.

Ainsi, le carré du côté le plus long qui est 𝐴𝐵, est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts, 𝑥 et 18. Nous pouvons donc écrire que 𝑥 au carré plus 18 au carré est égal à 30 au carré et ainsi nous pouvons calculer 𝑥. Commençons par mettre au carré 18 et 30. Soustrayons maintenant 324 des deux membres de l’équation. Donc 𝑥 au carré est égal à 576. Pour trouver 𝑥, on applique la racine carrée aux deux membres de l’équation. Et lorsque nous prenons la racine carrée, on obtient 24 ou moins 24. Cependant, il s’agit d’une longueur et une longueur est toujours positive. Ainsi 𝐴𝐶 mesure 24 centimètres.

Pour déterminer les rapports trigonométriques - sinus, cosinus et tangente -, il existe une astuce pour nous aider à nous rappeler ce que chacun représente. Les lettres majuscules font référence aux sinus, cosinus et tangente. Et les lettres minuscules font référence à ce que nous avons dans les rapports, les fractions. Le sinus est donc égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse. Le cosinus est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse. Et la tangente est égale au côté opposé divisé par le côté adjacent. Donc, si nous considérons l’angle 𝐵, le côté 𝐴𝐶 est le côté opposé. Quel que soit l’angle que nous regardons, l’hypoténuse est toujours le côté le plus long à savoir celui qui est en face de l’angle droit. Et enfin, le côté adjacent est celui qui est à côté de l’angle. L’hypoténuse est également à côté mais il est impossible de se tromper dans la mesure où on repère d’abord l’hypoténuse par rapport à l’angle droit. Ainsi, le côté adjacent peut être différent selon l’angle que nous regardons mais c’est toujours celui qui est à côté de l’angle. C’est ce que veut dire adjacent: à côté.

Commençons donc par le sinus de 𝐵. Le sinus est le côté opposé sur l’hypoténuse, donc 24 divisé par 30. Le cosinus est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse, donc 18 sur 30. Et enfin la tangente est égale au côté opposé sur le côté adjacent, donc 24 divisé par 18. Cependant, chacun de ces rapports peut être simplifié. Chaque nombre peut être réduit d’un facteur six et nous pouvons donc tous les diviser par six. Ainsi, vingt-quatre trentièmes devient quatre cinquièmes, dix-huit trentièmes devient trois cinquièmes et vingt-quatre dix huitièmes devient quatre tiers.

Par conséquent, le sinus de 𝐵 est égal à quatre cinquièmes, le cosinus de 𝐵 est égal à trois cinquièmes et la tangente de 𝐵 est égale à quatre tiers.

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