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Vidéo de question : Calculer une probabilité d’une variable suivant une loi normale connaissant sa moyenne et son écart-type Mathématiques

Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 68 et d’écart-type 3. Calculez 𝑃(𝑥 ≥ 61,7).

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Transcription de vidéo

Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 68 et d’écart-type trois. Calculez la probabilité que 𝑥 soit supérieur ou égal à 61,7.

On rappelle que la courbe représentant une loi normale est en forme de cloche et symétrique par rapport à la moyenne, et que l’aire totale sous la courbe est égale à 100 pour cent, ou un. Il peut être très utile de tracer la courbe pour nous aider à décider de la meilleure façon de calculer une probabilité.

La moyenne de 𝑋 est 68, et son écart-type est de trois. La question nous demande de calculer la probabilité que 𝑥 soit supérieur ou égal à 61,7, ce qui est représenté par l’aire en orange. La première étape de la plupart des questions concernant une loi normale est de calculer la cote 𝑧 centrée réduite. Cela permet de mettre à l’échelle ou de standardiser les données pour obtenir une loi normale centrée réduite.

Une fois cette étape effectuée, on peut réaliser les calculs avec une seule table de la loi normale centrée réduite. Nous connaissons déjà les valeurs de 𝜇 et 𝜎. Nous devons donc substituer 61,7 dans la formule pour obtenir la valeur de 𝑧. Et cela nous donne moins 2,1. Maintenant, rappelons que nous recherchons la probabilité que 𝑥 soit supérieur ou égal à 61,7. C’est-à-dire l’aire de la zone colorée. Mais la table ne donne que des probabilités cumulées, de type «𝑥 inférieur à ». C’est-à-dire l’aire de la zone non colorée.

Nous pouvons cependant nous rappeler de la symétrie de la courbe en cloche et reconnaître que si nous recherchons dans la table une cote 𝑧 de plus 2,1. Cela nous indiquera également la probabilité que 𝑥 soit supérieur ou égal à 61,7. Pour la valeur 2,1, on trouve une probabilité de 0,98214 dans la table de la loi normale centrée réduite. Par conséquent, la probabilité que 𝑥 soit supérieur ou égal à 61,7 est de 0,9821 avec quatre chiffres significatifs.

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