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Vidéo question :: Déterminer des combinaisons pour calculer la valeur d’une inconnue, utiliser cette valeur dans une combinaison Mathématiques • Troisième secondaire

Sachant que 𝑛C₄ = 5/2 𝑛, calculez 𝑛C₃.

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Transcription de la vidéo

Sachant que C 𝑛 quatre est égal à cinq sur deux 𝑛, calculez C 𝑛 trois.

Commençons par rappeler ce que nous entendons par cette notation. C 𝑛 𝑟 est le nombre de façons de choisir nos 𝑟 éléments uniques parmi un total de 𝑛 dans la collection, en supposant que l’ordre n’a pas d’importance. C’est une combinaison. C’est factorielle 𝑛 sur factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑛 moins 𝑟. Au départ, on nous dit que C 𝑛 quatre est égal à cinq sur deux 𝑛. Alors trouvons une expression pour C 𝑛 quatre. En posant 𝑟 égal à quatre, nous trouvons que c’est égal à factorielle 𝑛 sur factorielle quatre fois factorielle 𝑛 moins quatre. Mais bien sûr, cela est égal à cinq sur deux 𝑛. Formons donc une équation en 𝑛. Nous obtenons cinq sur deux 𝑛 égale factorielle 𝑛 sur factorielle quatre fois factorielle 𝑛 moins quatre.

Nous pouvons simplifier cela un peu. Nous savons que factorielle 𝑛 est 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux, et ainsi de suite. Nous pouvons donc le réécrire comme 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux fois 𝑛 moins trois fois factorielle 𝑛 moins quatre. Et puis nous voyons que nous allons pouvoir simplifier le facteur factorielle 𝑛 moins quatre de notre numérateur et dénominateur, ce qui nous laisse avec l’équation cinq sur deux 𝑛 égale 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux fois 𝑛 moins trois sur factorielle quatre. Multiplions les deux membres de notre équation par factorielle quatre, où factorielle quatre est quatre fois trois fois deux fois un, soit 24.

Cela signifie que nous obtenons cinq sur deux fois 24, ce qui est 60𝑛 sur le membre gauche. Et à droite, nous obtenons 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux fois 𝑛 moins trois. Nous soustrayons 60𝑛 des deux membres, et nous allons développer. En développant 𝑛 fois 𝑛 moins un fois 𝑛 moins deux fois 𝑛 moins trois, nous obtenons 𝑛 puissance quatre moins six 𝑛 au cube plus 11𝑛 au carré moins six 𝑛. Simplifions l’écriture en soustrayant 60𝑛, et le membre de droite de notre équation devient maintenant 𝑛 puissance quatre moins six 𝑛 au cube plus 11𝑛 au carré moins 66𝑛.

Maintenant, pour déterminer 𝑛 en résolvant cette équation, nous allons devoir factoriser. Nous constatons donc que nous pouvons commencer par factoriser par 𝑛 au membre de droite pour obtenir 𝑛 fois 𝑛 au cube moins six 𝑛 au carré plus 11𝑛 moins 66. Mais comment factoriser 𝑛 au cube moins six 𝑛 au carré plus 11𝑛 moins 66 ? Eh bien, nous commençons par rappeler le théorème des facteurs. Il dit que si 𝑛 moins 𝑎 est un facteur de la fonction 𝑓 de 𝑛, alors 𝑓 de 𝑎 doit être égale à zéro. Nous pouvons deviner ce que pourrait être 𝑎 en recherchant des diviseurs de moins 66. Essayons 𝑎 égal à six. 𝑓 de six est six au cube moins six fois six au carré moins 11 fois six moins 66, ce qui est égal à zéro.

Donc, 𝑓 de six est égale à zéro, ce qui signifie que 𝑛 moins six doit être un facteur de notre expression cubique. Cela signifie que nous pouvons effectuer la division polynomiale pour factoriser complètement cette expression cubique. 𝑛 au cube divisé par 𝑛 est 𝑛 au carré. Ensuite, si nous multiplions 𝑛 au carré par les deux termes de notre binôme, nous obtenons 𝑛 au cube moins six 𝑛 au carré. En soustrayant ces termes, nous obtenons zéro. Maintenant, nous rajoutons les deux termes suivants. Il s’agit de 11𝑛 moins 66. Nous allons diviser 11𝑛 par 𝑛 pour nous donner 11. Et maintenant, nous multiplions 11 par les deux termes de notre binôme.

Cela nous donne 11𝑛 moins 66. Et en soustrayant, nous voyons que nous obtenons un reste de zéro, ce que nous attendions puisque 𝑛 moins six est un facteur de notre expression cubique. Et donc, lorsque nous factorisons notre équation, nous obtenons zéro égal à 𝑛 fois 𝑛 moins six fois 𝑛 au carré plus 11. L’une des solutions à cette équation est 𝑛 égal à zéro. Une autre solution est lorsque 𝑛 moins six est égal à zéro, donc 𝑛 est six. Cependant, l’équation 𝑛 au carré plus 11 égal à zéro n’a pas de solutions réelles car si nous essayons de la résoudre, nous nous retrouvons avec la racine carrée de moins 11. Nous savons que dans C 𝑛 𝑟, 𝑛 doit être un entier positif. Nous choisissons donc la valeur 𝑛 égale six et ne tenons pas compte des autres solutions.

Libérons de l’espace et déterminons C 𝑛 trois si 𝑛 est égal à six. Nous allons calculer C six trois. Et ainsi, en laissant 𝑛 égal à six et 𝑟 égal à trois dans notre formule précédente, nous obtenons factorielle six sur factorielle trois fois factorielle trois. Nous écrivons factorielle six comme six fois cinq fois quatre fois factorielle trois. Et puis nous simplifions factorielle trois. Mais factorielle trois est six, donc nous pouvons simplifier une autre factorielle trois. Et nous trouvons que C six trois est simplement égal à cinq fois quatre, ce qui est 20. Et ainsi, étant donné que C 𝑛 quatre est cinq sur deux 𝑛, nous trouvons que C 𝑛 trois est égale à 20.

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