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Évaluer des fonctions trigonométriques pour des angles de 30, 45 et 60 degrés
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer les fonctions trigonométriques pour des angles de 30, 45 et 60 degrés. Nous déterminerons ces résultats de manière géométrique en construisant des triangles rectangles. Nous verrons également comment suivre le raisonnement inverse en se posant la question « Si nous connaissons deux côtés d’un triangle rectangle. Pouvons-nous calculer la mesure d’un angle de ce triangle? »
Commençons par rappeler la définition des fonctions trigonométriques pour un angle 𝜃. Nous rappelons que les fonctions trigonométriques sont définies par les rapports des longueurs de côté d’un triangle rectangle. Pour trouver les fonctions trigonométriques d’un angle 𝜃, commençons par tracer un triangle rectangle. Nous identifions ensuite les côtés de ce triangle en fonction de leur position par rapport à l’angle 𝜃. L’hypoténuse du triangle rectangle est son côté le plus long. C’est celui qui est opposé à l’angle droit. Le côté en face de l’angle 𝜃 est ensuite appelé le côté opposé. Enfin, le troisième côté adjacent à l’angle 𝜃 est appelé le côté adjacent.
Cela nous permet alors de définir les fonctions trigonométriques pour l’angle 𝜃. Tout d’abord, le sinus de 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé à 𝜃 sur la longueur de l’hypoténuse. Ensuite, le cosinus de 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent à 𝜃 sur la longueur de l’hypoténuse. Enfin, la tangente de 𝜃 est égale à la longueur du côté opposé à 𝜃 sur la longueur du côté adjacent à 𝜃.
Par conséquent, si nous pouvons construire un triangle rectangle dont nous connaissons les longueurs et les angles, nous pouvons évaluer les fonctions trigonométriques de chaque angle en utilisant ce triangle. Et il existe de nombreuses façons de construire des triangles rectangles dont nous connaissons les angles et les longueurs de côtés. Nous allons ici en présenter deux.
On considère tout d’abord un carré de côté un. Nous pouvons alors construire deux triangles rectangles en divisant le carré selon sa diagonale. En fait, ces deux triangles rectangles sont superposables car ils ont deux côtés et un angle égaux. Pour utiliser un de ces triangles rectangles pour évaluer les fonctions trigonométriques, nous allons avoir besoin de ses trois longueurs de côté et de ses trois angles.
Commençons par déterminer les mesures de ses angles. Nous remarquons d’abord que les triangles rectangles sont isocèles. Cela nous indique en particulier que les deux angles non droits de ce triangle rectangle ont la même mesure. Si nous appelons cette mesure 𝜃, comme la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés et l’angle droit mesure 90 degrés, nous savons que 𝜃 plus 𝜃 plus 90 degrés égale 180 degrés. Nous pouvons alors résoudre cette équation pour 𝜃. En soustrayant 90 degrés aux deux membres de l’équation, on obtient deux 𝜃 égale 90 degrés. Puis on divise par deux, ce qui donne 𝜃 égale 45 degrés. Cela est en fait logique. Nous coupons le carré en deux, on peut donc considérer que nous coupons également l’angle en deux.
Calculons maintenant la longueur manquante de ce triangle rectangle. Nous devons calculer la longueur de l’hypoténuse connaissant la longueur des deux autres côtés. Nous pouvons utiliser pour cela le théorème de Pythagore. Il stipule que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carré des deux côtés les plus courts. Donc, si nous appelons la longueur de l’hypoténuse ℎ, nous avons ℎ carré égale un au carré plus un au carré. On peut alors résoudre cette équation pour ℎ. Un au carré plus un au carré égale deux. Donc ℎ carré égale deux. On prend alors la racine carrée des deux membres de l’équation. On rappelle que ℎ est une longueur, elle doit donc être positive. Et nous obtenons ℎ égale racine carrée de deux.
Nous pouvons alors l’ajouter à notre schéma. Et nous avons maintenant un triangle rectangle dont nous connaissons toutes les longueurs et tous les angles. Nous sommes donc presque prêts à utiliser ce triangle rectangle pour évaluer nos fonctions trigonométriques. Rappelez-vous cependant que nous devons encore identifier les côtés de ce triangle rectangle en fonction de leur position par rapport à l’angle. Tout d’abord, comme nous l’avons déjà indiqué, le côté de longueur racine carrée de deux est l’hypoténuse de ce triangle rectangle, car c’est le côté le plus long opposé à l’angle droit. Le côté en face de l’angle de 45 degrés est alors le côté opposé. Enfin, le côté restant à côté de l’angle de 45 degrés est le côté adjacent.
Nous pouvons maintenant utiliser ce triangle rectangle pour évaluer les fonctions trigonométriques de cet angle. Nous devons simplement remplacer 𝜃 par 45 degrés, la longueur du côté adjacent par un, la longueur du côté opposé par un et la longueur de l’hypoténuse par racine carrée de deux. Commençons par la fonction sinus. Nous obtenons sin de 45 degrés égale un sur racine carrée de deux. Nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Nous pouvons cependant la simplifier en annulant la racine au dénominateur. On multiplie le numérateur et le dénominateur par racine carrée de deux pour obtenir racine carrée de deux sur deux. Par conséquent, nous avons montré que le sinus de 45 degrés est égal à racine carrée de deux sur deux.
Nous pouvons suivre le même raisonnement pour la fonction cosinus. Nous obtenons cos de 45 degrés égale un sur racine carrée de deux, ce qui est exactement la même valeur que ci-dessus. Nous pouvons donc simplifier le dénominateur de la même manière et obtenir que le cosinus de 45 degrés est aussi égal à racine carrée de deux sur deux. Enfin, en utilisant les valeurs de ce triangle rectangle, nous pouvons montrer que la tangente de 45 degrés est égale à un sur un, ce qui se simplifie bien sûr par un. Par conséquent, en utilisant un carré de côté un, le théorème de Pythagore et la définition des fonctions trigonométriques, nous avons pu calculer le sinus, le cosinus et la tangente de 45 degrés.
Avant de les utiliser pour répondre à des problèmes d’évaluation d’expressions trigonométriques, nous pouvons utiliser un autre triangle pour évaluer les fonctions trigonométriques de deux autres angles. Cette fois, au lieu de commencer par un carré de côté un, nous allons commencer par un triangle équilatéral. Rappelez-vous que les angles d’un triangle équilatéral sont tous de mesure 60 degrés. Et nous pouvons choisir ici la longueur de côté que nous souhaitons pour ce triangle. Par exemple, nous pourrions utiliser la longueur un. Mais les calculs dans ce cas seront plus simples si nous utilisons une longueur de côté deux. Nous choisissons donc cette valeur. Nous aurions cependant pu choisir n’importe quelle autre longueur.
Nous pouvons alors construire deux triangles rectangles à partir de ce triangle équilatéral en le divisant en deux le long de sa médiane. Puisqu’il s’agit d’une médiane, on peut calculer la longueur du côté le plus court du triangle rectangle. Il est de longueur un, car la longueur de deux est divisée en deux. Nous pouvons également trouver l’angle inconnu de ce triangle rectangle car la somme des mesures des angles dans un triangle rectangle est égale à 180 degrés. Et nous pouvons voir que 60 degrés plus 30 degrés plus 90 degrés égale 180 degrés. L’angle inconnu mesure donc 30 degrés.
Nous pouvons enfin calculer la longueur de côté manquante 𝑙 de ce triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore. Le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Donc, deux au carré égale 𝑙 carré plus un au carré. On peut alors résoudre cette équation pour 𝑙. Tout d’abord, deux au carré égale quatre et un au carré égale un. On peut ensuite soustraire un aux deux membres de l’équation pour obtenir trois égale 𝑙 carré. On prend enfin la racine carrée des deux membres de l’équation. Et nous savons que 𝑙 est une longueur donc elle est positive. Nous obtenons 𝑙 égale racine carrée de trois. Nous pouvons alors l’ajouter à notre schéma.
Et nous avons maintenant un triangle rectangle dont nous connaissons toutes les longueurs de côté et tous les angles. Nous pouvons donc à nouveau utiliser ce triangle rectangle pour évaluer les fonctions trigonométriques. Pour ce faire, nous devons identifier les côtés de ce triangle rectangle en fonction de leur position par rapport à l’angle. Nous avons cette fois-ci deux choix. Nous pouvons identifier les côtés en fonction de leur position par rapport à l’angle de 60 degrés ou par rapport à l’angle de 30 degrés. Cela nous permettra d’évaluer les fonctions trigonométriques pour 60 et 30 degrés.
Commençons par identifier les côtés de ce triangle en fonction de leur position par rapport à l’angle de 60 degrés. Traçons alors un nouveau triangle rectangle. Tout d’abord, comme nous l’avons déjà mentionné, l’hypoténuse de ce triangle rectangle est le côté de longueur deux, car c’est le côté le plus long opposé à l’angle droit. Le côté en face de l’angle de 60 degrés est ensuite le côté opposé. Il s’agit du côté de longueur racine carrée de trois. Enfin, le côté restant à côté de l’angle de 60 degrés est le côté adjacent. C’est le côté de longueur un.
Nous pouvons maintenant utiliser ces informations pour évaluer le sinus, le cosinus et la tangente de 60 degrés. Commençons par le sinus de 60 degrés. Il est égal à la longueur du côté opposé à 60 degrés sur l’hypoténuse. Soit racine carrée de trois sur deux. Ensuite, le cosinus de 60 degrés est égal à la longueur du côté adjacent sur la longueur de l’hypoténuse. Cela fait un sur deux ou un demi. Enfin, la tangente de 60 degrés est égale à la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. Cela donne racine carrée de trois sur un, c’est-à-dire racine carrée de trois.
Cela nous a donc permis d’évaluer les fonctions trigonométriques pour 60 degrés. Modifions maintenant notre triangle rectangle en identifiant les côtés par rapport à l’angle de 30 degrés. Traçons ce nouveau triangle. L’hypoténuse reste la même; c’est toujours le côté opposé à l’angle droit. Cependant, les côtés opposés et adjacents sont maintenant inversés, car le côté de longueur un est opposé à l’angle de 30 degrés et le côté de longueur racine carrée de trois est adjacent à l’angle de 30 degrés.
Nous pouvons alors utiliser ce triangle rectangle pour évaluer le sinus, le cosinus et la tangente de 30 degrés. Le sinus de 30 degrés est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Soit un sur deux. Le cosinus de 30 degrés est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Cela fait racine carrée de trois sur deux. Et la tangente de 30 degrés est égale au côté opposé sur le côté adjacent. Cela donne un sur racine carrée de trois. Et on peut simplifier son dénominateur. On multiplie le numérateur et le dénominateur par racine carrée de trois pour obtenir racine carrée de trois sur trois. Nous avons ainsi montré comment évaluer les trois fonctions trigonométriques pour des angles de 30, 45 et 60 degrés.
Nous pouvons alors faire un peu de place et construire un tableau détaillant les résultats que nous venons de montrer. Les colonnes de ce tableau représentent les angles en degrés. Et les lignes du tableau représentent les fonctions trigonométriques. La case située sur cette ligne et cette colonne correspond alors à la valeur de la fonction trigonométrique de cet angle. Nous pouvons ensuite utiliser ce tableau pour retrouver les fonctions trigonométriques de ces trois angles. Par exemple, si nous souhaitons trouver le cosinus de 60 degrés, nous recherchons la ligne du cosinus et la colonne de 60 degrés. La case située sur cette ligne et cette colonne nous donne alors la valeur recherchée. Le cosinus de 60 degrés est égal à un sur deux.
Et il est très utile de mémoriser ce tableau car il nous évite de réutiliser les constructions géométriques précédentes à chaque fois. Il est cependant recommandé de savoir répéter ce raisonnement pour pouvoir démontrer ces résultats. Étudions maintenant un exemple où nous devons évaluer une fonction trigonométrique.
Calculez la valeur exacte de sinus de 30 degrés.
La question nous demande de déterminer la valeur exacte d’une fonction trigonométrique. Nous voyons que l’argument de cette fonction trigonométrique est 30 degrés. Et nous pouvons en fait répondre à cette question de plusieurs façons. Par exemple, nous pourrions taper sin de 30 degrés dans une calculatrice et nous obtiendrions une réponse exacte. Il est cependant possible de répondre à cette question sans utiliser de calculatrice et nous allons montrer comment.
Nous pouvons évaluer cette expression de deux façons sans utiliser de calculatrice. Nous remarquons d’abord que 30 degrés est un de nos angles spéciaux. Nous devrions avoir mémorisé toutes les fonctions trigonométriques pour des angles de 30, 45 et 60 degrés. Nous pouvons donc répondre à la question en utilisant le tableau suivant. Les colonnes du tableau représentent les angles de 30, 45 et 60 degrés. Et les lignes du tableau correspondent aux trois fonctions trigonométriques.
Nous pouvons alors nous rappeler les valeurs de la ligne du sinus : sinus de 30 degrés égale racine carrée de un sur deux, sinus de 45 degrés égale racine carrée de deux sur deux et sinus de 60 degrés égale racine carrée de trois sur deux. Le numérateur est égal à racine carrée de un, puis racine carrée de deux, puis racine carrée de trois. Les valeurs de la ligne du cosinus sont les même mais dans l’ordre inverse. La dernière valeur est racine carrée de un sur deux. La deuxième valeur est racine carrée de deux sur deux. Et la première valeur est racine carrée de trois sur deux.
Et nous savons que la tangente de 𝜃 est égale à sinus de 𝜃 sur cosinus de 𝜃. Nous pouvons donc calculer les valeurs de la ligne de la tangente en divisant la ligne du sinus par la ligne du cosinus. Dans tous les cas, nous pouvons utiliser ce tableau pour évaluer sinus de 30 degrés. Nous devons trouver la case située sur la colonne de 30 degrés et sur la ligne du sinus. Et nous pouvons voir que sa valeur est un sur deux. Cela nous permet alors de conclure que sinus de 30 degrés égale un sur deux.
Et nous pourrions nous arrêter ici. Il peut cependant être difficile de mémoriser entièrement ce tableau. Nous pouvons donc rappeler brièvement comment évaluer géométriquement sinus de 30 degrés. On rappelle que les fonctions trigonométriques sont égales aux rapports des longueurs de côtés dans un triangle rectangle. Nous pouvons donc utiliser un triangle rectangle connu pour déterminer ces fonctions trigonométriques. Dans ce cas, nous allons construire un triangle rectangle en utilisant un triangle équilatéral de côté deux.
Rappelez-vous que les angles d’un triangle équilatéral mesurent tous 60 degrés. Nous pouvons diviser ce triangle équilatéral en deux selon sa médiane. Elle divise un côté du triangle en deux donc un des côtés de ce triangle rectangle est de longueur un. La somme des mesures des angles d’un triangle rectangle est égale à 180 degrés. L’angle manquant dans ce triangle rectangle est donc de 30 degrés.
Nous pouvons enfin déterminer la longueur du côté manquant en utilisant le théorème de Pythagore. Il stipule que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Donc si on suppose que le côté manquant est de longueur 𝑙, on a 𝑙 carré plus un au carré égale deux au carré. On peut résoudre cette équation pour déterminer 𝑙. En réarrangeant l’équation, on a 𝑙 carré égale trois. On prend ensuite la racine carrée des deux membres de l’équation en rappelant que 𝑙 est une longueur et qu’elle est donc positive. 𝑙 égale racine carrée de trois.
Maintenant, en rappelant la définition de la fonction sinus ou en utilisant l’acronyme SOHCAHTOA, nous savons que sin 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé à l’angle 𝜃 sur la longueur de l’hypoténuse. Et nous cherchons sa valeur pour l’angle 𝜃 de 30 degrés. Nous voyons d’abord que l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est le côté de longueur deux. Nous trouvons ensuite que le côté opposé à l’angle de 30 degrés est le côté de longueur un. En substituant ces valeurs dans la définition du sinus, nous obtenons que sinus de 30 degrés égale un sur deux.
Nous avons donc déterminé la valeur exacte du sinus de 30 degrés de deux manières différentes. Les deux méthodes ont montré que sinus de 30 degrés est égal à un sur 2.
Dans l’exemple suivant, nous devons trouver la valeur exacte d’une expression trigonométrique impliquant des angles de 30 et 45 degrés.
Calculez la valeur de deux cosinus de 45 degrés fois sinus de 30 degrés.
Cette question nous demande d’évaluer une expression trigonométrique. Et nous pouvons voir que les arguments de ces fonctions sont 45 et 30 degrés. Et ce sont deux de nos angles spéciaux. Nous devrions avoir mémorisé toutes les valeurs des fonctions trigonométriques pour des angles de 30, 45 et 60 degrés. Nous pouvons les rappeler en utilisant un tableau de valeurs comme celui-ci. Les colonnes représentent les angles de 30, 45 et 60 degrés. Et les lignes représentent les fonctions trigonométriques. En particulier, les valeurs de la première ligne du tableau sont un sur racine carrée de deux, racine carrée de deux sur deux et racine carrée de trois sur deux. Et la deuxième ligne de ce tableau est identique à la première mais dans l’ordre inverse: racine carrée de trois sur deux, racine carrée de deux sur deux, racine carrée de un sur deux.
Nous pouvons ensuite utiliser ce tableau pour évaluer le cosinus de 45 degrés. Nous pouvons voir que la valeur située sur la ligne de cos 𝜃 et sur la colonne de 45 degrés est racine carrée de deux sur deux. Cela nous indique donc que cosinus de 45 degrés égale racine carrée de deux sur deux. Nous pouvons faire de même pour le sinus de 30 degrés. Et nous trouvons qu’il est égal à un sur 2. Nous pouvons maintenant simplement substituer ces valeurs dans l’expression. On obtient deux cos de 45 degrés sin de 30 degrés égale deux racine carrée de deux sur deux fois un sur deux. On peut alors annuler le facteur commun deux pour obtenir une réponse finale de racine carrée de deux sur deux.
Jusqu’à présent, nous avons utilisé des triangles rectangles pour nous aider à évaluer les fonctions trigonométriques. Il est cependant possible de suivre le raisonnement inverse. Si nous connaissons le rapport des longueurs de côté d’un triangle rectangle, nous pouvons utiliser cette information pour déterminer la mesure de l’angle du triangle. Si nous savons par exemple que la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent est égale à un. Nous pouvons alors calculer l’angle 𝜃 de plusieurs façons.
Nous pouvons notamment remarquer que la longueur du côté opposé est égale au côté adjacent, il s’agit donc d’un triangle rectangle isocèle. Cela signifie que l’autre angle inconnu est aussi égal à 𝜃. La mesure de l’angle 𝜃 est donc de 45 degrés. En ajoutant cela à notre schéma, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant à propos de ce triangle rectangle. Il est en fait semblable au triangle rectangle de longueurs un, un et racine carrée de deux car leurs trois angles sont égaux. Et il s’agit du triangle rectangle qui nous avait permis de déterminer que la tangente de 45 degrés était égale à un. Donc une deuxième façon de répondre à cette question est de remarquer que ces deux triangles rectangles sont semblables puis de réduire ce triangle rectangle de longueurs inconnues pour obtenir ce triangle connu. Nous pouvons ensuite simplement utiliser tangente de 45 degrés égale un pour conclure que la mesure de l’angle est 45 degrés.
Pour nous aider à mieux comprendre cette relation, introduisons les fonction trigonométriques réciproques et certaines de leurs propriétés. Tout d’abord, si 𝑎 est supérieur à zéro et inférieur à un, alors 𝜃 égale sin moins un de 𝑎 est l’unique angle aigu solution à l’équation sin 𝜃 égale 𝑎; et 𝜃 égale cos moins un de 𝑎 est l’unique angle aigu solution à l’équation cos 𝜃 égale 𝑎.
Ensuite, si 𝑎 est positif, alors 𝜃 égale tan moins un de 𝑎 est l’unique angle aigu solution à l’équation tan 𝜃 égale 𝑎. Les fonctions trigonométriques réciproques prennent comme antécédent la valeur du rapport 𝑎 et donnent pour image 𝜃, qui est l’angle correspondant à ce rapport dans le triangle rectangle. Ces propriétés nous indiquent en particulier que l’angle est unique. Nous n’avons donc besoin que du rapport des longueurs des côtés dans un triangle rectangle pour déterminer la mesure de l’angle.
Voyons un exemple d’application des fonctions trigonométriques réciproques pour résoudre une équation.
Si cos 𝑥 égale un sur deux, déterminez la valeur de 𝑥, où x est supérieur à zéro degré et inférieur à 90 degrés.
La question concerne une équation trigonométrique en fonction de 𝑥. Nous devons déterminer la valeur de 𝑥 et il est indiqué que 𝑥 est un angle aigu. peut donc représenter un angle dans un triangle rectangle. Alors en utilisant l’acronyme SOHCAHTOA, on rappelle que le cosinus d’un angle aigu est égal à la longueur du côté adjacent à l’angle sur la longueur de l’hypoténuse de ce triangle rectangle. L’équation cos 𝑥 égale un sur deux nous donne donc la valeur du rapport de deux longueurs de côté dans un triangle rectangle. Et nous rappelons que nous pouvons résoudre ce problème en utilisant les fonctions trigonométriques réciproques. En particulier, 𝜃 égale cos moins un de 𝑎 est l’unique angle aigu solution à l’équation cos 𝜃 égale 𝑎, où la valeur de 𝑎 doit être comprise entre zéro et un.
Dans cette équation, nous pouvons voir que la valeur de 𝑎, le quotient, est un sur deux. Par conséquent, cette propriété nous indique que 𝑥 est égal à cos moins un de un sur deux. Nous pouvons évaluer cos moins un de un sur deux en rappelant que le cosinus de 60 degrés est égal à un sur deux. Et d’après la propriété précédente, l’angle aigu solution à cette équation est unique. Donc comme cos de 60 degrés égale un sur deux, nous pouvons en conclure que 𝑥 égale 60 degrés est l’unique solution à cette équation. Par conséquent, cos moins un de un sur deux égale 60 degrés, et 𝑥 égale 60 degrés est la solution à l’équation.
Passons maintenant en revue certains des points clés de cette vidéo. Nous avons d’abord montré que nous pouvons évaluer des fonctions trigonométriques en construisant des triangles rectangles de longueurs de côtés et d’angles connus. En particulier, nous pouvons utiliser des propriétés géométriques pour construire les deux triangles rectangles suivants. Nous construisons le premier triangle rectangle en divisant un carré de côté un le long de sa diagonale. Et nous construisons le deuxième triangle rectangle en divisant un triangle équilatéral de côté deux le long d’une de ses médianes. Nous pouvons ensuite appliquer la trigonométrie des triangles rectangles à ces deux triangles pour évaluer les fonctions sinus, cosinus et tangente pour des angles de 30, 45 et 60 degrés. Nous pouvons alors construire un tableau de valeurs pour nous aider à nous rappeler de ces valeurs.
Nous avons enfin vu que nous pouvons utiliser les fonctions trigonométriques réciproques pour résoudre des équations et calculer les mesures d’angles inconnus. En particulier, ces fonctions trigonométriques réciproques donnent des solutions uniques pour un angle aigu. Et comme nous connaissons maintenant les valeurs des fonctions sinus, cosinus et tangente de 30, 45 et 60 degrés, nous pouvons les utiliser avec l’unicité de la solution pour un angle aigu pour résoudre ces équations.
