Vidéo question :: Trouver la valeur d'une constante de l'ensemble de définition d'une fonction définie par morceaux Mathématiques

Transcription de la vidéo

On considère la fonction 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 moins un lorsque 𝑥 est supérieure ou égale à moins un et inférieure à 10 et 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus 11 lorsque 𝑥 est supérieure ou égal à 10, déterminez la valeur de 𝑎 telle que 𝑓 de 𝑎 soit égale à deux.

On nous donne dans cette question une fonction 𝑓 de 𝑥, définie par morceaux, et on doit déterminer toute valeur possible 𝑎 telle que 𝑓 de 𝑎 soit égale à deux. Nous rappelons pour cela que les fonctions définies par morceaux ont des définitions différentes en fonction des valeurs de 𝑥. Ils sont désignés par les deux inéquations à droite de notre définition par morceaux. On les appelle les sous-domaines de notre fonction 𝑓 de 𝑥.

Premièrement, si notre valeur de 𝑥 est supérieure ou égale à moins un et inférieure à 10, alors notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à la fonction trois 𝑥 moins un. Deuxièmement, si notre valeur de 𝑥 est supérieure ou égale à 10, alors notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale deux 𝑥 plus 11. Par conséquent, il y a deux expressions différentes pour avoir 𝑓 de 𝑎 égale deux. On peut calculer 𝑓 en une valeur 𝑥 qui satisfait la première inéquation telle que trois 𝑥 moins un soit égale à deux. Ou bien nous pouvons entrer une valeur 𝑥 qui satisfait la deuxième inéquation telle que deux 𝑥 plus 11 soit égale à deux. Dans les deux cas, il faut trouver les valeurs de la variable 𝑥 qui rendent chaque sous-fonction égale à deux.

On commence par la première sous-fonction. On veut résoudre trois 𝑥 moins un égale deux. On ajoute un aux deux côtés de notre équation pour obtenir trois 𝑥 égale trois, puis on divise notre équation par trois pour obtenir 𝑥 égale un. Lorsque 𝑥 égale un, notre première sous-fonction donne donc une valeur deux. Mais attention, on doit vérifier que cette valeur se trouve dans le premier sous-domaine. Sinon, notre fonction ne serait pas égale à trois 𝑥 moins un pour cette valeur de la variable 𝑥. Or, on constate que un est supérieur ou égal à moins un et que un est inférieur à 10, donc un est dans le premier sous-domaine de 𝑓 de 𝑥. Ainsi, 𝑓 de un est égale à trois fois un moins un, ce qui correspond à deux. Par conséquent, un est une valeur possible de 𝑎.

Mais rappelons que nous devons encore vérifier la deuxième sous-fonction. On veut que deux 𝑥 plus 11 soit égale à deux. On résout donc cette équation pour calculer 𝑥. On soustrait 11 des deux côtés de l'équation pour obtenir deux 𝑥 égale moins neuf. Nous divisons ensuite les deux côtés de l'équation par deux. On obtient 𝑥 égale moins neuf sur deux. Donc si nous remplaçons 𝑥 par neuf sur deux dans cette sous-fonction, on obtient deux. Mais nous devons encore vérifier que cette valeur de la variable 𝑥 est dans le deuxième sous-domaine. Mais moins neuf sur deux est inférieur à 10 ; elle n'est pas supérieure ou égale à 10. Donc, la valeur moins neuf sur deux n'est pas dans ce sous-domaine, ce qui signifie que ce n'est pas une valeur possible de 𝑎. Alors, la seule valeur possible pour la constante 𝑎 est donc un.

Nous avons donc pu montrer que si 𝑓 de 𝑥 est égale à trois 𝑥 moins un lorsque 𝑥 est supérieure ou égale à moins un et 𝑥 est inférieure à 10 et 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus 11 lorsque 𝑥 est supérieure ou égale à 10, alors si on nous dit que 𝑓 de 𝑎 égale deux, on a montré que la seule valeur possible de 𝑎 est un.