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Vidéo question :: Trouver les solutions d’une équation trigonométrique sur un intervalle donné en utilisant des racines carrées Mathématiques • Première secondaire

Déterminez l'ensemble des valeurs vérifiant 4 sin² 𝜃 - 1 = 0 sachant que 0° < 𝜃 < 180°.

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Transcription de la vidéo

Déterminez l'ensemble des valeurs vérifiant quatre fois sinus 𝜃 au carré moins un est égal à zéro sachant que 𝜃 est strictement supérieur à zéro degré et strictement inférieur à 180 degrés.

Commençons par déterminer sinus 𝜃. Nous ajoutons un à chaque membre de l'équation. Quatre fois sinus 𝜃 au carré est égal à un. Nous divisons ensuite chaque côté par quatre. Ainsi, sinus 𝜃 au carré égale un quart. Il en découle que sinus 𝜃 est égal à plus ou moins racine carrée d'un quart. Pour simplifier la racine carrée résultante d'un quotient, nous prenons la racine carrée du numérateur et du dénominateur. Par conséquent, sinus 𝜃 est égal à plus un demi ou moins un demi. Du fait que la fonction sinus est périodique, cette équation aurait une infinité de solutions si nous n'avions pas de restrictions sur 𝜃. On nous indique que 𝜃 est strictement supérieur à zéro degré et strictement inférieur à 180 degrés.

Rappelons maintenant le graphique bien connu du sinus d'un angle en fonction de cet angle. Nous voyons que sinus 𝜃 est égal à un demi deux fois dans l'intervalle ouvert de zéro à 180 degrés. Nous marquons ces points par des croix bleues. Seulement, puisque sinus 𝜃 n'est jamais égale à moins un demi entre zéro et 180 degrés, nous n'avons aucune solution de l'équation sinus 𝜃 égale moins un demi.

Il nous faut maintenant trouver les deux valeurs de 𝜃 pour lesquelles sinus 𝜃 est égal à un demi. Les solutions exactes ne sont pas évidentes à partir du graphique. Nous constatons cependant qu'une solution est inférieure à 90 degrés et que l'autre solution est plus proche de 180 degrés. En appliquant la fonction réciproque de la fonction sinus à notre équation, nous obtenons l'équation 𝜃 est égal à la fonction réciproque du sinus de un demi. Ensuite, nous pouvons utiliser une calculatrice en mode degré pour obtenir la première réponse de 30 degrés. Malheureusement, en appliquant la fonction réciproque du sinus, nous ne pouvons trouver qu'une des deux solutions entre zéro et 180 degrés. En effet, la fonction réciproque du sinus n'est définie qu'entre les valeurs moins 90 et 90 degrés. Cela explique pourquoi il ne renvoie qu'une seule valeur de 𝜃.

Afin de trouver la deuxième valeur de 𝜃, il nous faudra rappeler la relation entre les côtés d'un triangle rectangle avec des angles 30-60-90. Libérons un peu d'espace pour démontrer notre raisonnement. Pour la démonstration, nous dessinons un triangle de référence avec des angles 30-60-90 sur le plan de coordonnées 𝑥𝑦, où l'hypoténuse est le côté terminal d'un angle de 30 degrés en position standard. Selon les définitions des fonctions trigonométriques en coordonnées, si nous considérons que 𝑟, l'hypoténuse, est égale à un, alors le sinus de notre angle en position standard est égal à 𝑥 et le cosinus de notre angle en position standard est égal à 𝑦. Dans un triangle avec des angles 30-60-90, le côté opposé à l'angle de 30 degrés mesure toujours la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Le côté adjacent à l'angle de 30 degrés mesure toujours la racine carrée de trois fois la longueur du côté opposé. Ainsi, 𝑦 est égal à un demi et 𝑥 est égal à la racine carrée de trois sur deux. Le triangle de référence que nous avons dessiné confirme que sinus 30 degrés est égal à un demi.

Cherchons maintenant dans le deuxième quadrant notre deuxième solution, où 𝜃 est compris entre 90 et 180 degrés. Nous dessinons un autre triangle de référence avec des angles 30-60-90 dans le deuxième quadrant le long de l'axe des 𝑥 négatifs, avec les mêmes mesures que notre premier triangle rectangle. Puisque les valeurs de 𝑥 dans le deuxième quadrant sont toujours négatives, nous avons maintenant 𝑥 est égal à moins la racine carrée de trois sur deux. Seulement, le plus important est que la valeur de 𝑦 reste la même. Ainsi, le sinus est toujours égale à un demi.

Dans le deuxième quadrant, l'angle de référence est toujours de 30 degrés. Cependant, il nous faut identifier la mesure de cet angle en position standard. Nous savons qu'un angle qui se termine sur le côté négatif de l'axe des 𝑥 est de 180 degrés. Notre nouvel angle est de 30 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de l'axe des 𝑥 négatifs. Cela nous rappelle l'une des identités des angles complémentaires du sinus, qui nous dit que sinus 𝜃 est égal à sinus 180 degrés moins 𝜃. Or, l'hypoténuse de notre premier triangle est le côté terminal de l'angle 𝜃, et l'hypoténuse de notre deuxième triangle est le côté terminal de l'angle 180 degrés moins 𝜃.

Dans le premier quadrant, nous avons trouvé que 𝜃 est égal à 30 degrés. Alors, selon l'identité des angles complémentaires que nous venons de rappeler, sinus 30 degrés est égal à sinus 180 degrés moins 30 degrés, soit 150 degrés. Nous venons de démontrer que sinus 30 degrés et sinus 150 degrés sont tous les deux égaux à un demi. Pour conclure, l'ensemble contenant 30 degrés et 150 degrés satisfait à l'équation quatre fois sinus 𝜃 au carré moins un est égal à zéro, sachant que 𝜃 est strictement supérieur à zéro degré et strictement inférieur à 180 degrés.

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