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Vidéo de question : Dérivation de fonctions impliquant des rapports trigonométriques à l’aide de la règle du produit et de la règle de dérivation en chaîne Mathématiques

On pose 𝑦 = 6𝑥³ sin (2𝑥⁴ + 4), calculez d𝑦 / d𝑥.

05:21

Transcription de vidéo

Si 𝑦 est égal à six 𝑥 au cube fois sinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre, calculez d𝑦 sur d𝑥.

La question veut que nous trouvions la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥 et nous pouvons voir que 𝑦 est égal au produit de deux fonctions. C’est le produit de six 𝑥 au cube par le sinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre. Et pour trouver la dérivée du produit de deux fonctions, nous aurons besoin d’utiliser la règle de dérivation d’un produit. La règle du produit nous dit que si 𝑦 est égal au produit de deux fonctions 𝑢 de 𝑥 et 𝑣 de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑣 de 𝑥 fois d𝑢 sur d𝑥 plus 𝑢 de 𝑥 fois d𝑣 sur d𝑥. Donc, pour utiliser la règle du produit, nous allons définir notre fonction 𝑢 de 𝑥 comme étant égale à six 𝑥 au cube et notre fonction 𝑣 de 𝑥 comme étant égale au sinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre.

Ainsi, pour utiliser la règle du produit, nous devons trouver les expressions de d𝑢 sur d𝑥 et de d𝑣 sur d𝑥. Commençons par trouver d𝑢 sur d𝑥. C’est la dérivée par rapport à 𝑥 de six 𝑥 au cube. Et nous pouvons l’obtenir en utilisant la règle de dérivation des puissances. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 puis réduisons cet exposant de un. Ceci nous donne 18 𝑥 au carré. Nous voulons maintenant trouver une expression pour d𝑣 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑥 du sinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre. Nous ne pouvons cependant pas évaluer cette dérivée directement car elle n’est pas sous une forme classique bien que nous puissions remarquer que c’est la dérivée de la composée de deux fonctions. Nous prenons le sinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre.

Et nous savons comment dériver la composée de deux fonctions en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Nous rappelons que la règle de dérivation en chaîne nous dit que si 𝑣 est une fonction de 𝑤 et que 𝑤 est une fonction de 𝑥, alors d𝑣 sur d𝑥 est égal à d𝑣 sur d𝑤 fois d𝑤 sur d𝑥. Dans notre cas, 𝑣 est formée par la composition de la fonction sinus et d’un polynôme. Donc, si nous définissons 𝑤 comme étant notre fonction entre parenthèses à savoir deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre, alors 𝑣 de 𝑥 est égal au sinus de 𝑤. Donc 𝑣 est une fonction de 𝑤 et 𝑤 à son tour est une fonction de 𝑥. Cela signifie que nous pouvons calculer la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑥 en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Nous obtenons que ceci est égal à d𝑣 sur d𝑤 fois d𝑤 sur d𝑥.

Nous pouvons trouver les expressions pour ces deux dérivées. Premièrement, d𝑣 sur d𝑤 est la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑤. Et nous savons que 𝑣 est le sinus de 𝑤. Donc d𝑣 par d𝑤 est égal à la dérivée du sinus de 𝑤 par rapport à 𝑤. Nous pouvons faire quelque chose de similaire pour d𝑤 sur d𝑥. C’est la dérivée de 𝑤 par rapport à 𝑥. Et 𝑤 est égal à deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre. Nous pouvons maintenant évaluer ces deux dérivées. Premièrement, nous savons que la dérivée du sinus de 𝑤 par rapport à 𝑤 est égale au cosinus de 𝑤. Ensuite, nous pouvons évaluer la dérivée de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre par rapport à 𝑥 en utilisant la règle de dérivation des puissances. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 et réduisons cet exposant de un. Ceci nous donne huit 𝑥 au cube. Et bien sûr, la dérivée de la constante quatre est simplement égale à zéro.

Enfin, comme il s’agit d’une expression pour d𝑣 sur d𝑥, nous voulons que notre réponse soit exprimée en fonction de 𝑥. Nous ferons ceci en remplaçant 𝑤 par son expression en fonction de 𝑥 c’est-à-dire deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre. Cela nous donne que d𝑣 sur d𝑥 est égal à huit 𝑥 au cube fois le cosinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre. Nous sommes maintenant prêts à trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Selon la règle du produit, cela est égal à 𝑣 de 𝑥 fois d𝑢 sur d𝑥 plus 𝑢 de 𝑥 fois d𝑣 sur d𝑥. En remplaçant par nos expressions de 𝑢 de 𝑥, 𝑣 de 𝑥, d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal au sinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre fois 18 𝑥 au carré plus six 𝑥 au cube multiplié par huit 𝑥 au cube fois le cosinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre.

Et en simplifiant et en réarrangeant cette expression, nous avons montré que si 𝑦 est égal à six 𝑥 au cube fois le sinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre. Alors, d𝑦 sur d𝑥 est égal à 48 𝑥 à la puissance six fois le cosinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre plus 18 𝑥 au carré fois le sinus de deux 𝑥 à la puissance quatre plus quatre.

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