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Vidéo question :: Déterminer quelle droite est tangente à un cercle en utilisant des droites parallèles et le théorème des segments alternés Mathématiques • Troisième préparatoire

Sur la figure ci-dessous, sachant que 𝐴𝐷 ≠ 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐶, lequel des choix suivants représente une tangente au cercle qui passe par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐸 ? [A] Segment 𝐴𝐷 [B] Segment 𝐵𝐶 [C] Rayon 𝐵𝑌 [D] Segment 𝐸𝐶 [E] Segment 𝐸𝐷

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Transcription de la vidéo

Sur la figure ci-dessous, sachant que 𝐴𝐷 est différent de 𝐴𝐵, qui lui-même, est différent de 𝐵𝐶, lequel des choix suivants représente une tangente au cercle qui passe par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐸 ? Est-ce (A) le segment 𝐴𝐷, (B) le segment 𝐵𝐶, (C) la demi-droite 𝐵𝑌, (D) le segment 𝐸𝐶 ou (E) le segment 𝐸𝐷 ?

Pour comprendre la question, annotons d’abord notre figure pour montrer où se situe le cercle qui passe par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐸. Ici, nous pouvons voir à la fois le triangle 𝐴𝐵𝐸 et le cercle circonscrit qui passe à travers ses trois sommets.

Maintenant, en considérant les options, il semble plausible que le segment 𝐴𝐷 puisse être une tangente, soit l’option (A). Il semble également plausible que le segment 𝐵𝐶 puisse être une tangente, soit l’option (B). Cependant, nous pouvons éliminer la demi-droite 𝐵𝑌, soit l’option (C), car il traverse directement le cercle. Nous pouvons éliminer le segment 𝐸𝐶 car il s’agit d’une extension de la corde 𝐴𝐸, et, avec le même raisonnement, nous pouvons éliminer le segment 𝐸𝐷.

Pour affiner notre choix parmi les deux options restantes, les options (A) et (B), nous devrons considérer ce que nous pouvons dire sur les angles à l’intérieur de cette figure. Nous pouvons voir sur la figure que le segment 𝐵𝐷 est parallèle à la demi-droite 𝑋𝐶 et que la demi-droite 𝑋𝐶 est tangente au grand cercle. Puisque le segment 𝐵𝐶 coupe deux droites parallèles, il s’agit d’une transversale, ainsi, les mesures des angles 𝑋𝐶𝐵 et 𝐶𝐵𝐸 seront égales. À partir de là, puisque le triangle 𝐴𝐶𝐵 est inscrit dans le grand cercle et que le point 𝐶 est un point de tangence, selon le théorème des segments alternés, l’angle 𝐵𝐴𝐶 sera égal en mesure à l’angle 𝑋𝐶𝐵.

Rappelez-vous, le théorème des segments alternés nous dit que si 𝐴 et 𝐵 sont deux points sur un cercle et si 𝐶 est un point tangent sur le cercle, alors l’angle de tangence 𝐵𝐶𝑆 est égal à l’angle 𝐵𝐴𝐶 dans le segment alterné. Ainsi, puisque nous avons montré que la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐸 est égale à la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐸, par la réciproque du théorème des segments alternes, le segment 𝐵𝐶 doit être tangent au cercle qui passe par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐸. Ainsi, en utilisant les propriétés des droites parallèles, le théorème des segments alternés et sa réciproque, nous avons pu montrer que le segment de droite 𝐵𝐶 est une tangente au cercle qui passe par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐸.

Maintenant, pour terminer, en considérant la corde 𝐴𝐷, nous savons que sa longueur n’est pas égale à celle de la corde 𝐵𝐶. Si nous considérons le fait que deux angles interceptant le même arc sont égaux, nos angles 𝐴𝐵𝐷 et 𝐴𝐶𝐷 ont la même mesure et il en est de même pour les angles 𝐵𝐴𝐶 et 𝐵𝐷𝐶. Cependant, les deux paires ne sont pas de mesure égale, car les longueurs des arcs qu’ils interceptent ne sont pas égales. Nous voyons dans le grand cercle que cela signifie que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷, appelons-la 𝜑, n’est pas égale à celle de l’angle 𝐵𝐴𝐶, qui est l’angle 𝜃.

Alors, maintenant, en faisant de la place, supposons que le segment de droite 𝐴𝐷 est une tangente au cercle passant par les sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐸. Ensuite, selon le théorème des segments alternés, les angles 𝐴𝐵𝐷, soit 𝜑, et 𝐷𝐴𝐸 devraient avoir la même mesure. Maintenant, en utilisant à nouveau le fait que les angles interceptant le même arc sont égaux, nous avons que la mesure de l’angle 𝐷𝐴𝐶 est égale à celle de 𝐶𝐵𝐷. Or, nous avons déjà montré que la mesure de l’angle 𝐶𝐵𝐸, et donc celle de 𝐶𝐵𝐷, est égale à 𝜃. Cela doit signifier que l’angle 𝐷𝐴𝐶, soit l’angle 𝐷𝐴𝐸, est également égal à 𝜃. Cependant, l’angle 𝐷𝐴𝐸 est 𝜑, que nous savons différent de 𝜃. Nous avons donc une contradiction. Par conséquent, nous avons montré par l’absurde que le segment de droite 𝐴𝐷 ne peut pas être une tangente au cercle passant par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐸. L’option (A) est donc éliminée.

Par conséquent, seule l’option (B), c’est-à-dire le segment de droite 𝐵𝐶, est une tangente au cercle passant par les sommets 𝐴, 𝐵 et 𝐸.

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