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Vidéo de question : Former des fonctions objectifs pour minimiser les coûts à partir d’un graphique représentant les contraintes Mathématiques

Un fermier peut améliorer la qualité de sa production s’il utilise au moins 18 composés à base d’azote et au moins 6 composés à base de phosphate. Il peut utiliser deux types d’engrais : A et B. Le coût et le contenu de chaque engrais sont indiqués dans le tableau. Sachant que le graphique représente les contraintes liées à cette situation, déterminez le coût le plus bas que l’agriculteur peut payer l’engrais tout en utilisant des quantités suffisantes de ces deux composés.

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Transcription de vidéo

Un fermier peut améliorer la qualité de ses produits s’il utilise au moins 18 composés à base d’azote et au moins six composés de phosphate. Il peut utiliser deux types d’engrais : A et B. Le coût et le contenu de chaque engrais sont indiqués dans le tableau. Sachant que le graphique représente les contraintes liées à cette situation, déterminez le coût le plus bas que l’agriculteur peut payer l’engrais tout en utilisant des quantités suffisantes de ces deux composés.

Dans le tableau, nous voyons les deux types d’engrais, A et B. Chacun fournit un certain nombre de composés à base d’azote par kilogramme et un certain nombre de composés de phosphate par kilogramme. Parallèlement à cela, on nous donne les prix en livres égyptiennes d’un kilogramme de chaque type d’engrais. Avec notre tableau, nous avons un graphique qui nous montre les contraintes impliquées dans ce scénario. Notre objectif est de trouver le coût le moins élevé que l’agriculteur peut payer pour un type engrais tout en ayant des quantités suffisantes de ces deux composés.

Sachant cela, effaçons tout le texte à l’exception la première phrase. Cette phrase est utile car elle nous indique quelles sont les contraintes qui sont représentées graphiquement. Comme nous le savons, notre objectif est de minimiser le coût total de la dépense d’engrais pour l’agriculteur. Connaissant les types d’engrais impliqués et le coût par kilogramme de chacun, on peut dire que le prix total que l’agriculteur paiera sera égal à 170 fois le nombre de kilogrammes d’engrais 𝐴 plus 120 fois le nombre de kilogrammes d’engrais 𝐵. C’est donc notre fonction objectif. C’est la fonction que nous voulons minimiser, compte tenu de nos contraintes.

Comme nous l’avons vu, ces contraintes sont représentées sur notre graphique. Par exemple, le fait que notre engrais doit avoir au moins 18 composés à base d’azote nous dit que trois fois 𝐴 plus six fois 𝐵 doit être supérieur ou égal à 18. Dans notre tableau, nous notons que chaque kilogramme d’engrais de type A fournit trois composés à base d’azote, tandis que chaque kilogramme de type B en fournit six. Voilà donc une contrainte. Une seconde est que notre engrais doit avoir au moins six composés de phosphate. Nous pouvons écrire cela comme deux fois 𝐴 plus 𝐵 supérieur ou égal à six. Cette expression vient du fait que chaque kilogramme d’engrais de type A fournit deux composés de phosphate, tandis que chaque kilogramme de type B en fournit une.

Cette inégalité que nous avons développée pour les composés de phosphate impliqués peut être vue sur notre graphique en utilisant cette ligne rose. De même, notre première contrainte peut être représentée en utilisant la seconde ligne rose. Vu que ces deux contraintes indiquent que le nombre total de kilogrammes de A et de B doit être supérieur ou égal à un certain nombre, lorsque nous regardons le graphique, il s’agit en fait de la région marquée en gris qui est la région autorisée. Tous les points de cette région grisée répondraient aux conditions de la qualité de l’engrais. Ainsi, lorsque nous recherchons le coût minimum qui répondra à ces exigences, les points que nous devrons examiner sont les points appartenant à la frontière de la grande région de notre graphique.

Nous pourrions considérer ces trois points comme des sommets : un ici, un ici et un là. Notez, à ce propos, que ni des valeurs de 𝑥 négatives ni des valeurs de 𝑦 négatives sur notre graphique ne satisferaient ces conditions car une valeur négative pour l’une ou l’autre indiquerait un nombre négatif de kilogrammes d’engrais. Une fois cela dit, nous pouvons nous concentrer sur le premier quadrant et sur la région grisée. De tous ces points, cependant et il y en a une infinité dans la région grisée, ce ne sont que les trois points que nous avons surlignés en orange qui pourraient minimiser notre fonction.

Regardons alors les coordonnées de ces trois points. En regardant de près notre point le plus haut, nous voyons qu’il a une valeur 𝑥 égale à zéro et une valeur 𝑦 égale à six. Le point suivant a pour coordonnées deux, deux. Le troisième point a pour coordonnées six, zéro. Nous allons donc substituer chacun de ces trois points dans l’expression de notre fonction. Nous regarderons ensuite les résultats de ces calculs. Pour notre premier point, nous avons un coût de 170 fois zéro plus 120 fois six, c’est-à-dire 720. Pour notre deuxième point, le coût est de 170 fois deux plus 120 fois deux, c’est-à-dire 580. Et enfin, 170 fois six plus 120 fois zéro, c’est-à-dire 1020.

En rappelant que nous voulons minimiser le coût total de nos engrais, c’est la plus petite de ces trois valeurs que nous choisirons. Ainsi, la plus petite quantité d’argent que l’agriculteur peut dépenser en engrais tout en répondant à ces exigences de qualité est de 580 livres égyptiennes.

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