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Vidéo de question : Vérifier si la multiplication de deux matrices est commutative Mathématiques

Considérez les matrices de taille 2 × 2 𝐴 = [1, 1, 0, 0] et 𝐵 = [0, 1, 0, 1]. A-t-on 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 ?

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Transcription de vidéo

Considérez les matrices de taille deux deux 𝐴 est égal à un, un, zéro, zéro et 𝐵 est égal à zéro, un, zéro, un. A-t-on 𝐴𝐵 est égale à 𝐵𝐴 ?

Dans cet exemple, nous voulons déterminer le produit matriciel de deux matrices deux deux dans les deux sens. Si 𝐴𝐵 égale 𝐵𝐴, alors nous pouvons dire que le produit matriciel est commutatif dans ce cas. Nous rappelons qu’en général, le produit matriciel n’est pas commutatif. Nous rappelons également que le produit matriciel ne peut être effectué que dans certaines circonstances, en fonction de l’ordre de chaque matrice.

Disons que la matrice 𝐴 est d’ordre 𝑚 𝑛 et que la matrice est 𝐵 d’ordre 𝑛 𝑝. Cela signifie que la matrice 𝐴 a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes et que la matrice 𝐵 a 𝑛 lignes et 𝑝 colonnes. Pour effectuer le produit matriciel 𝐴𝐵, le nombre de colonnes de la matrice 𝐴 doit être égal au nombre de lignes de la matrice 𝐵. En revanche, pour effectuer le produit matriciel 𝐵𝐴, le nombre de colonnes de la matrice 𝐵 doit être égal au nombre de lignes de la matrice 𝐴. En d’autres termes, 𝑚 doit être égal à 𝑝. Dans cet exemple, les deux matrices sont d’ordre deux deux. Nous n’aurons donc aucun problème à multiplier dans les deux sens, car le nombre de colonnes et le nombre de lignes sont tous les mêmes.

Faisons de la place pour effectuer le premier produit matriciel. Commençons par trouver 𝐴𝐵. Puisque 𝐴 est une matrice deux deux et 𝐵 l’est également, 𝐴𝐵 sera donc une matrice deux deux. Pour illustrer le processus, effectuons les détails de la multiplication pour la première ligne. Nous prenons le premier élément de la première ligne de la matrice 𝐴 et le multiplions avec le premier élément de la première colonne de la matrice 𝐵, soit un fois zéro. Ensuite, nous ajoutons le produit du deuxième élément de la première ligne de la matrice 𝐴 avec le deuxième élément de la première colonne de la matrice 𝐵, soit un fois zéro. L’évaluation de cette expression nous donne zéro, ce qui sera le premier élément de notre produit matriciel.

Pour trouver le deuxième élément du produit, nous allons répéter ces procédures avec la première ligne de la matrice 𝐴 et la deuxième colonne de la matrice 𝐵. Cela ressemble à un fois un plus un fois un, soit deux. Par conséquent, deux est le deuxième élément du produit.

Maintenant que nous avons trouvé la première ligne du produit, nous allons passer à la deuxième ligne de la matrice 𝐴 et utiliser ces deux entrées pour nos calculs finaux. Nous trouvons que l’entrée suivante de notre produit est zéro et que la dernière entrée est également zéro. Maintenant, nous sommes prêts à effectuer le produit matriciel dans l’autre sens, 𝐵 fois 𝐴. Pour des raisons de cohérence, nous continuerons d’utiliser le rose pour souligner les éléments de la matrice 𝐵 et l’orange pour souligner les éléments de la matrice 𝐴.

En utilisant les mêmes procédures que précédemment, nous constatons que le premier élément du produit est zéro. Le deuxième, le troisième et le quatrième éléments sont également zéro. Si nous examinons le deuxième élément de la première ligne de chaque produit, nous voyons que deux n’est pas égal à zéro, ce qui signifie que les deux matrices ne sont pas égales. Par conséquent, la réponse à cette question est non, le produit de ces deux matrices n’est pas commutatif car 𝐴𝐵 est différent de 𝐵𝐴.

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