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Vidéo question :: Trouver le rayon d’une planète compte tenu de sa masse et du temps pris par un objet à une distance donnée pour atteindre sa surface Mathématiques • Deuxième secondaire

Un astronaute a fait tomber un objet d’une hauteur de 2 352 cm au-dessus de la surface d’une planète, et l’objet a atteint la surface après 8 s. La masse de la planète est de 7,164 × 10²⁴ kg, tandis que celle de la Terre de 5,97 × 10²⁴ kg et le rayon de la Terre est de 6,34 × 10⁶ m. Sachant que l’accélération gravitationnelle de la Terre est 𝑔 = 9,8 m/s², calculez le rayon de l’autre planète.

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Transcription de la vidéo

Un astronaute a fait tomber un objet à une hauteur de 2 352 centimètres sur la surface d’une planète, et il a atteint la surface après huit secondes. La masse de la planète est de 7,164 fois 10 puissance 24 kilogrammes tandis que celle de la Terre est de 5,97 fois 10 puissance 24 kilogrammes et le rayon de la Terre est de 6,34 fois 10 puissance 6 mètres. Sachant que l’accélération gravitationnelle de la Terre est de 9,8 mètres par seconde au carré, calculez le rayon de l’autre planète.

Donc, ce problème va être résolu en deux parties. La première partie de ce problème consiste à examiner quelques informations sur l’astronaute qui laisse tomber un objet d’une hauteur de 2 352 centimètres sur la surface d’une planète et qui atteint la surface après huit secondes, car ce que nous pouvons faire c’est utiliser l’une de nos équations d’accélération constante afin de nous aider à trouver quelle serait l’accélération due à la pesanteur sur cette planète. Et nos équations d’accélération constante sont parfois appelées équations MRUA. Et c’est parce que ce sont les initiales du mouvement rectiligne uniformément accélérée. Nous avons donc obtenu 𝑠 qui est notre distance, 𝑢 est notre vecteur vitesse initiale, 𝑣 est notre vecteur vitesse finale, 𝑎 est notre accélération et 𝑡 est notre temps.

Eh bien, tout d’abord, nous avons notre distance qui est de 2 352 centimètres. Cependant, ce que nous devons faire, c’est travailler en mètres. Donc, ce que nous allons faire, c’est diviser 2352 par 100, car il y a 100 centimètres dans un mètre. Donc, cela devient 23,52 mètres. D’accord, ensuite, nous allons passer au vecteur vitesse initiale. Eh bien, il va être de zéro mètre par seconde car on nous dit que l’astronaute fait tomber un objet. Donc, ça commence à partir du repos. Nous ne connaissons pas notre vecteur vitesse finale, et ce n’est pas quelque chose que nous essayons de trouver, nous pouvons donc l’ignorer. L’accélération due à la pesanteur est ce que nous essayons de trouver. Et nous allons la représenter par 𝑔 indice 𝑝, donc l’accélération gravitationnelle sur la planète. Et enfin, nous savons que le temps est égal à huit secondes.

Très bien, nous avons chacune de nos variables, mais laquelle des équations d’accélération constante allons-nous utiliser pour résoudre cette partie du problème ? Eh bien, l’équation que nous allons utiliser est que 𝑠 est égal à 𝑢𝑡 plus un demi 𝑎𝑡 au carré. Et c’est parce qu’elle contient chacune des variables que nous avons ou que nous recherchons. Alors maintenant, ce que nous devons faire, c’est utiliser nos valeurs. Donc, quand nous faisons cela, nous obtenons 23,52 est égal à zéro multiplié par huit plus un demi multiplié par 𝑔 indice 𝑝 multiplié par huit au carré. Donc, nous allons obtenir 23,52 est égal à 32𝑔 indice 𝑝. Alors maintenant, ce que nous devons faire est diviser par 32. Et quand nous faisons cela, nous obtenons une valeur de 𝑔 indice 𝑝 de 0,735. Donc, cela nous indique maintenant que l’accélération due à la pesanteur sur la planète est de 0,735 mètre par seconde au carré.

Maintenant, si nous regardons les informations qui nous sont données dans la deuxième partie de la question, nous avons la masse de la planète, la masse de la Terre, le rayon de la Terre, l’accélération due à la pesanteur sur la Terre, et nous venons de travailler sur la planète, et nous essayons de trouver le rayon de l’autre planète. Donc, ce que nous examinons est la loi de Newton de la gravitation universelle. Donc, parce que nous examinons cela, nous avons une formule pour nous aider à résoudre le problème. Et cette formule est 𝑔 égale à 𝐺 majuscule multiplié par 𝑚 sur 𝑟 au carré. Et c’est là que 𝑔 est l’accélération due à la pesanteur, 𝐺 majuscule est la constante gravitationnelle universelle, 𝑚 est la masse et 𝑟 est le rayon.

Donc, nous remarquons tout de suite que le peu d’informations qui ne nous a pas été donné dans ce problème est la constante gravitationnelle universelle. Mais en fait, ce que nous pouvons faire, c’est travailler en utilisant les informations qui nous ont été données. Et nous pouvons le faire en utilisant les informations qui nous ont été données sur la Terre. On nous dit que la masse de la Terre est 5,97 fois 10 puissance 24 kilogrammes, le rayon de la Terre est 6,34 fois 10 puissance six mètres, et l’accélération due à la pesanteur sur la Terre est de 9,8 mètres par seconde au carré. Donc, tout ce que nous devons faire est d’utiliser cela dans notre formule et de réorganiser pour trouver 𝐺 majuscule, la constante gravitationnelle universelle. Donc, quand nous faisons cela, nous allons obtenir 9,8 égal à 𝐺 majuscule multiplié par 5,97 fois 10 puissance 24 sur 6,34 fois 10 puissance six au carré.

Alors maintenant, si nous réorganisons cela en multipliant chaque côté de l’équation par 6,34 fois 10 puissance six au carré et en divisant par 5,97 fois 10 puissance 24, nous avons 𝐺 est égal à 9,8 multiplié par 6,34 fois 10 puissance six au carré sur 5,97 fois 10 puissance 24. Et cela va nous donner 𝐺 majuscule est égal à 6,598 en ainsi de suite multipliée par 10 puissance moins 11 mètres cube par kilogramme par seconde au carré. Nous avons donc trouvé cela. Alors maintenant, ce que nous pouvons faire est d’utiliser les informations que nous avons pour trouver le rayon de l’autre planète. Et pour nous permettre de faire cela, nous allons libérer de l’espace sur le côté gauche. Les informations que nous conservons sont le fait que l’accélération due à la pesanteur sur la planète est égale à 0,735. Et ce que nous savons aussi, c’est que la masse de la planète est de 7,164 fois 10 puissance 24.

Le rayon de la planète est ce que nous essayons de trouver. Et la constante gravitationnelle universelle que nous avons calculée dans ce scénario est 6,598 multipliée par 10 puissance moins 11. Ce que j’ai fait, en fait, c’est mettre en mémoire cette valeur dans la calculatrice afin d’obtenions un résultat vraiment précis à la fin. Donc, ce que nous obtenons est 0,735 est égal à 6,598 fois 10 puissance moins 11 multiplié par 7,164 multiplié par 10 puissance 24 sur 𝑟 indice 𝑝 au carré. Et puis ce que nous devons faire c’est multiplier par 𝑟 indice 𝑝 au carré et diviser par 0,735, ce qui va nous donner 𝑟 indice 𝑝 au carré est égal à 6,431296 fois 10 puissance 14. Ensuite, si nous prenons la racine carrée des deux côtés, nous obtenons 𝑟 indice 𝑝 égal à 25 360 000. Nous pouvons donc dire que le rayon de l’autre planète sera de 2,536 fois 10 puissance sept mètres.

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