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Vidéo question :: Analyse de l’équilibre d’un corps reposant sur un plan horizontal rugueux attaché à une corde inclinée impliquant le mouvement du corps Mathématiques • Troisième secondaire

Un corps de poids 63 newtons est posé sur un plan horizontal rugueux. La tangente de l’angle de frottement statique entre le corps et le plan vaut 1/8. Le corps est attaché à une corde légère inextensible qui est inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus vaut 12/15. Sachant que la tension dans la corde rend le corps sur le point de se déplacer, calculez l’intensité de la tension 𝑇 et l’intensité de la force du frottement statique 𝐹.

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Transcription de la vidéo

Un corps de poids 63 newtons est posé sur un plan horizontal rugueux. La tangente de l’angle de frottement statique entre le corps et le plan vaut un huitième. Le corps est attaché à une corde légère inextensible qui est inclinée par rapport à l’horizontale d’un angle dont le sinus vaut douze quinzièmes. Sachant que la tension dans la corde rend le corps sur le point de se déplacer, calculez l’intensité de la tension 𝑇 et l’intensité de la force du frottement statique 𝐹.

D’accord, avant de commencer le problème, notons certaines de ces informations. On nous dit que nous avons un corps qui pèse 63 newtons ; on note ce poids 𝑃. Et puis on nous parle de cette grandeur appelée angle de frottement statique, et plus précisément on nous parle de la tangente de cet angle. Cet angle de frottement statique fait référence à une situation où nous avons un corps posé sur une surface. Et puis, petit à petit, nous inclinons cette surface jusqu’à arriver à un angle suffisamment incliné pour que le corps commence à glisser. À ce moment, l’angle que le plan incliné fait avec l’horizontale est appelé angle de frottement statique.

Dans notre cas, on nous parle de la tangente de cet angle. Et il est utile de noter que la tangente de l’angle de frottement statique est toujours égale au coefficient de frottement statique. Tout cela signifie que, pour ce corps spécifique sur ce plan horizontal spécifique, le coefficient de frottement statique vaut un huitième. En plus de tout cela, on nous dit que le corps est attaché à une corde légère inextensible. En d’autres termes, la corde ne s’étire pas du tout et elle n’a donc aucune masse. Si nous traçons cette corde, on nous dit qu’elle est inclinée par rapport à l’horizontale selon un angle dont le sinus vaut ce rapport de douze quinzièmes.

En d’autres termes, si on aurait tracé un triangle rectangle où l’hypoténuse est représentée par la corde, alors le sinus de cet angle intérieur ici vaut douze quinzièmes. Puisque le sinus de cet angle est égal au rapport de la longueur de ce côté sur la longueur de l’hypoténuse, nous pouvons dire que la longueur du côté vertical de ce triangle que nous avons tracé est de 12 unités, tandis que l’hypoténuse est de 15. Sachant tout cela, comme nous l’avons vu, nous voulons trouver la tension 𝑇 dans la corde et l’intensité de la force de frottement statique 𝐹 entre le corps et le plan horizontal.

Libérons de l’espace pour travailler sur l’écran, comme nous l’avons dit, c’est la tension 𝑇 et la force de frottement statique 𝐹 que nous voulons déterminer. Commençons par trouver la tension 𝑇, on nous dit que lorsque la corde tire le corps, le corps est alors sur le point de se déplacer. Puisque la corde tire à la fois verticalement vers le haut et horizontalement vers la droite, le fait que le corps soit sur le point de se déplacer pourrait signifier différentes choses. D’une part, cela pourrait signifier que le corps est sur le point de se déplacer de la surface verticalement vers le haut. D’une autre part, cela pourrait signifier que le corps est sur le point de se déplacer vers la droite, c’est-à-dire que la force de frottement statique qui le garde en place est surmontée. Et puis, techniquement, il existe même une troisième option, à savoir que ces deux types de mouvement se produiront au même instant.

Pour obtenir plus de clarté sur les forces agissant sur le corps, traçons un schéma un peu plus développé. Vu comme cela, en plus de la force de tension qui agit sur le corps, nous savons qu’il y a une force de poids, c’est la masse multipliée par l’accélération due à la gravité, qui agit sur celui-ci, avec les flèches n’étant pas dessinées à l’échelle. Et aussi longtemps que le corps reste en place, il y a aussi une force de frottement statique 𝐹 agissant vers la gauche. Enfin, il peut y avoir ou non une force de réaction 𝑅 agissant sur le corps. Cela dépendra de la comparaison de la composante verticale de la force de tension avec une force de poids agissant vers le bas. Ce sont les forces qui agissent ou qui presque agissent sur le corps alors qu’il est au repos.

Maintenant, comme nous l’avons mentionné, avec cette force de tension 𝑇, le corps est sur le point de se déplacer. Et ce mouvement peut être soit purement vertical ou purement horizontal ou une combinaison des deux. Nous pouvons déterminer avec certitude lequel de ces trois cas il s’agit, mais seulement si nous commençons par faire une hypothèse. Supposons que, avec la force de tension 𝑇, le corps soit sur le point de se déplacer mais uniquement dans le sens horizontal. Si c’est vrai, cela signifie que toutes les forces horizontales agissant sur le corps s’équilibrent. En ce qui concerne ces forces, nous voyons qu’il y a une composante horizontale de la force de tension, puis la force de frottement statique dans le sens opposé.

Disons que nous établissons la convention selon laquelle les forces agissant vers la droite sont positives. Et disons plus loin que nous donnons un nom à cet angle intérieur du triangle rectangle. Appelons cet angle 𝜙. Parce qu’il y a une force de tension 𝑇 le long de la corde et que la corde est à un angle 𝜙 au-dessus de l’horizontale, nous pouvons dire que la composante horizontale de 𝑇 est 𝑇 fois le cosinus de 𝜙. Si nous soustrayons la force de frottement 𝐹, qui, comme nous l’avons vu, agit dans le sens opposé, nous obtenons zéro. C’est ce que cela signifie pour que ces forces soient équilibrées. On peut donc écrire que 𝑇 fois cosinus 𝜙 est égale à 𝐹. Et maintenant, regardons quelle est cette force de frottement.

Lorsque cette force de frottement est statique, elle est souvent représentée par 𝐹 indice 𝑠. Et elle est égale au coefficient de frottement statique multiplié par la force de réaction subie par un corps. Dans de nombreuses situations, la force de réaction 𝑅 est égale et opposée à la force du poids 𝑚 fois 𝑔 d’un corps donné. Dans notre situation cependant, ce n’est pas le cas. Et c’est parce que nous avons cette composante verticale de la force de tension. Cette composante verticale est égale à 𝑇 fois le sinus de 𝜙. Et si nous décidions que dans la direction verticale les forces dirigées vers le haut sont positives, alors nous pourrions dire que la force de réaction 𝑅 plus 𝑇 fois le sinus de 𝜙 moins 𝑚 fois 𝑔 est égale à zéro. Cela implique que la force de réaction 𝑅 est égale à 𝑚 fois 𝑔 moins 𝑇 sinus de 𝜙.

Maintenant, si cette composante verticale de notre force de tension était égale et opposée à la force de poids, alors nous verrions que notre force de réaction 𝑅 est nulle. Mais en continuant avec notre hypothèse que le corps est sur le point de se déplacer uniquement horizontalement, nous pouvons dire que la force de réaction 𝑅 n’est pas nulle. Et comme nous l’avons mentionné, nous aurons plus tard une chance de tester si l’hypothèse est vraie. Pour l’instant cependant, nous avons une expression à utiliser pour la force de réaction 𝑅 dans notre équation pour la force de frottement statique. Tout cela signifie que nous pouvons réécrire cette force 𝐹 comme 𝜇 indice 𝑠 fois la quantité 𝑚 fois 𝑔 moins 𝑇 sinus de 𝜙.

Rappelons que, dans l’énoncé de notre problème, on nous donne une valeur pour 𝜇 indice 𝑠 ; c’est un huitième. Et nous pouvons également noter que 𝑚 fois 𝑔, la masse du corps multipliée par l’accélération due à la gravité, est égale à son poids, pour lequel nous avons une variable et une valeur. En dégageant encore un peu d’espace, voici où nous en sommes maintenant. Dans notre hypothèse sur le mouvement du corps, 𝑇, la tension dans la corde, multipliée par le cosinus de 𝜙 est égal à 𝜇 indice 𝑠, qui est une valeur connue, multipliée par la quantité 𝑊, qui est également connue, moins 𝑇 fois le sinus de 𝜙.

Nous voulons trouver la tension 𝑇. Donc, multiplions d’abord par 𝜇 indice 𝑠 à droite. Et puis ajoutons 𝜇 indice 𝑠 fois 𝑇 fois le sinus de 𝜙 aux deux membres de l’équation. Lorsque nous faisons cela et que nous factorisons par la tension 𝑇 à gauche, la prochaine chose que nous pouvons faire est de diviser les deux membres par le cosinus de 𝜙 plus 𝜇 indice 𝑠 fois le sinus de 𝜙. Et si nous enlevons ensuite ce qui s’élimine du membre gauche, nous avons maintenant une équation avec 𝑇 isolée a gauche. Comme on nous donne les valeurs de 𝜇 indice 𝑠 et 𝑃, il reste à trouver les valeurs du cosinus et du sinus de cet angle 𝜙.

En regardant une autre fois le schéma et le triangle rectangle que nous avons dessiné, nous nous souvenons qu’en fait on nous a déjà donné la valeur du sinus de cet angle que nous avons appelé 𝜙. Il est égal au rapport entre la longueur du côté opposé du triangle et la longueur de l’hypoténuse. En d’autres termes, le sinus de 𝜙 est douze quinzièmes. En ce qui concerne le cosinus de 𝜙, cette longueur est égale à la longueur de ce côté de notre triangle. Parce que c’est un triangle rectangle et que nous connaissons les deux autres longueurs, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour le trouver. Si nous appelons la longueur de ce côté de notre triangle 𝑙, alors nous pouvons dire que 𝑙 est égal à la racine carrée de 15 au carré moins 12 au carré. Cela revient à exactement neuf. Donc 𝑙 est égal à neuf et le cosinus de 𝜙 est alors égal à 𝑙 sur 15 ou, en d’autres termes, neuf quinzièmes.

Nous sommes maintenant prêts à remplacer toutes ces informations dans le membre droit de l’équation. En laissant de côté les unités, 𝑇 est égal à cette fraction. Et si on tape cette expression sur la calculatrice, nous obtenons 11,25. Puisque la tension est une force, nous savons que ses unités sont des newtons. Et donc la réponse à la première partie de notre question est que la tension 𝑇 dans la corde est égale à 11,25 newtons. Nous pouvons maintenant passer à la deuxième partie, où nous calculons la force de frottement statique 𝐹. Nous avons vu plus tôt que cette force est d’une intensité égale à 𝑇 fois le cosinus de 𝜙. Cela équivaut à 11,25 fois neuf quinzièmes avec des unités de newtons. Cela équivaut à 6,75 newtons.

Nous avons maintenant répondu aux deux parties de notre question, mais il reste la question en suspens, à savoir si l’hypothèse avec laquelle nous avons commencé était correcte. Avant de savoir quelle était l’intensité de la tension 𝑇, nous avons vu que le corps aurait pu être sur le point de se déplacer uniquement dans la direction verticale, uniquement dans la direction horizontale, ou bien à la fois vers la verticale et l’horizontale. Maintenant que nous connaissons la tension 𝑇 dans notre corde, considérons quel effet cela aura sur le mouvement vertical de ce corps. Comme nous l’avons vu, la composante verticale de 𝑇 est 𝑇 fois le sinus de 𝜙. Cela équivaut à 11,25 fois douze quinzièmes de newtons. Cela revient à exactement neuf newtons.

Alors, lorsque le corps est sur le point de se déplacer dans la direction horizontale, la composante verticale de cette force est de neuf newtons. Et cela est résisté par la force de poids de 63 newtons. Le fait que la force du poids soit la plus grande de ces deux valeurs confirme l’hypothèse que nous avons formulée. Avec cette force de tension, le corps commence à se déplacer dans la direction horizontale avant de commencer à se déplacer verticalement. Notre hypothèse initiale était donc valide. Et concernant les réponses finales, nous pouvons dire avec certitude que 𝑇 est égal à 11,25 newtons, tandis que 𝐹 est égal à 6,75 newtons.

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