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Un cylindre avec un couvercle mobile contient de l’air d’un volume de 0,042 mètre cube à une pression de 101 kilopascals. Le couvercle du cylindre est poussé vers le bas par une force externe 𝐅, comme indiqué sur la figure. La force comprend le poids du couvercle. En conséquence, le couvercle se déplace de 10 centimètres vers le bas et la pression atmosphérique augmente de 28 kilopascals. Le couvercle cesse alors de bouger lorsque la pression au-dessus et en dessous de celle-ci s’égalise. La pression change linéairement lorsque le couvercle est déplacé et la température de l’air ne change pas pendant la compression. Quelle est la surface du couvercle du cylindre ? Donnez votre réponse arrondie à deux décimales près.
En regardant notre schéma, nous pouvons imaginer que le couvercle de notre cylindre a commencé ici en haut de ce cylindre, puis s’est déplacé vers le bas sur une distance de 10 centimètres. On nous donne le volume et la pression de l’air dans la bouteille avant que le couvercle ne bouge. Et on nous dit aussi dans quelle mesure la pression atmosphérique a changé à la suite de ce mouvement.
Dans cette première partie de notre question, nous voulons déterminer l’aire du couvercle du cylindre. Pour commencer, faisons de l’espace à l’écran et considérons que l’air dans cette bouteille peut être traité comme un gaz parfait. Cela signifie que nous pouvons le décrire en utilisant la loi des gaz parfaits, qui dit que la pression d’un gaz multipliée par son volume est égale au nombre de moles de gaz multiplié par une constante 𝑅 multipliée par la température du gaz.
En raison du mouvement du couvercle de notre cylindre, ce gaz dans la bouteille change entre deux situations. Dans la première situation, lorsque le couvercle est en haut du cylindre et ne comprime pas du tout le gaz, le gaz a une pression que nous appellerons 𝑃 un, un volume que nous appellerons 𝑉 un et une température que nous appellerons 𝑇 un. Il n’y a pas d’indice sur le 𝑅 car il s’agit d’une valeur constante. Et il n’y a pas d’indice sur le 𝑛, le nombre de moles du gaz, pour une raison que nous verrons dans un instant. C’est donc la loi du gaz parfait pour la première situation de notre gaz avant que le couvercle du cylindre ne soit descendu.
Mais ensuite, après que le couvercle ait descendu sur une distance de 10 centimètres, l’air dans le cylindre est à une nouvelle pression que nous appellerons 𝑃 deux, il a un nouveau volume que nous appellerons 𝑉 deux, et cela est égal à 𝑛 fois 𝑅 fois la température 𝑇 deux. Maintenant, la raison pour laquelle 𝑛 n’a pas d’indice pour faire la différence entre la première et la deuxième situation est que cette valeur ne change pas lorsque le gaz est comprimé. Alors que la densité du gaz augmente lorsqu’il est comprimé, le nombre de moles du gaz reste constant. Dans les deux situations, le nombre de moles du gaz impliqué est donc le même.
Dans l’énoncé de notre problème, on nous donne un peu plus d’informations sur le scénario. Plus précisément, on nous dit que la température de l’air dans le cylindre est la même avant et après la compression. Cela signifie que ce que nous avons appelé 𝑇 un est égal à ce que nous avons appelé 𝑇 deux. Alors, pour plus de simplicité, écrivons ces deux températures en utilisant le même symbole 𝑇.
Lorsque nous regardons ces deux équations, nous pouvons voir que si les côtés gauche sont différents, les côtés droits sont identiques. Donc, si 𝑃 un 𝑉 un est égal à 𝑛𝑅𝑇 et 𝑃 deux 𝑉 deux est égal à 𝑛𝑅𝑇, alors cela signifie que 𝑃 un 𝑉 un est égal à 𝑃 deux 𝑉 deux. Ceci est utile car ces deux volumes 𝑉 un et 𝑉 deux contiennent l’aire du couvercle du cylindre que nous voulons déterminer.
Disons que la hauteur totale de ce cylindre est ℎ. Et disons en outre que l’aire du couvercle du cylindre que nous voulons déterminer est 𝐴. Cela signifie que le volume d’origine du cylindre, son volume complet 𝑉 un, est ℎ fois 𝐴. Nous pouvons également déterminer le volume du cylindre après la descente du couvercle. C’est égal à la hauteur ℎ, quelle que soit la valeur, moins 10 centimètres, le tout multiplié par l’aire du couvercle 𝐴.
À ce stade, rappelons quelques informations qui nous ont été données dans l’énoncé de notre problème. On nous donne le volume du cylindre avant que le couvercle ne soit descendu. Nous avons appelé cela 𝑉 un. On nous a également donné la pression de l’air dans le cylindre à ce point. Et on nous a dit qu’après que le couvercle ait baissé de 10 centimètres, cela ajoute 28 kilopascals de pression à la pression totale de l’air dans le cylindre. Cela signifie que la pression après la descente du couvercle est égale à 𝑃 un plus 28 kilopascals. Puisque 𝑃 un est 101 kilopascals, cela signifie que ce que nous avons appelé 𝑃 deux est 129 kilopascals.
Connaissant toutes ces informations, nous sommes maintenant en mesure d’utiliser cette équation pour résoudre 𝑉 deux. Cela nous aidera, alors que nous sommes en train de déterminer l’aire du couvercle du cylindre 𝐴. Dans notre équation de gauche, nous diviserons les deux côtés par la pression 𝑃 deux, en supprimant ce facteur de droite pour que nous ayons maintenant une expression pour 𝑉 deux en termes de valeurs connues. Nous pouvons alors remplacer ce rapport par 𝑉 deux dans notre équation à droite. Cela nous donne 𝑃 un 𝑉 un divisé par 𝑃 deux étant égale à la grandeur ℎ moins 10 centimètres fois 𝐴. Et la prochaine chose que nous allons faire est de remplacer ℎ dans cette expression. Et nous le ferons au moyen de cette équation.
Si nous divisons les deux côtés de cette équation par l’aire 𝐴, ce facteur s’annule à droite. Et nous avons maintenant une expression pour ℎ en fonction d’une valeur connue 𝑉 un et de la valeur que nous voulons déterminer pour 𝐴. Nous utiliserons cette fraction pour remplacer ℎ dans notre expression plus large. Ensuite, multiplions les deux termes de ces parenthèses par la valeur 𝐴. Cela nous donne un 𝑉 un par lui-même moins 10 centimètres fois 𝐴.
Les choses tournent bien parce que nous avons maintenant une expression en termes de valeurs que nous connaissons, à l’exception de la valeur que nous voulons déterminer. Pour faire de 𝐴 le sujet de cette équation, commençons par libérer de l’espace à l’écran. Et puis multiplions les deux côtés de cette équation par moins un. Ce que cela a fait, c’est que cela a changé les signes de nos trois termes. Ajoutons maintenant le volume 𝑉 un des deux côtés, ce qui provoque l’annulation de ce volume à droite. Et puis puisque le volume 𝑉 un apparaît dans les deux termes à gauche, nous pouvons le factoriser. Enfin, nous divisons les deux côtés par 10 centimètres, supprimant ainsi 10 centimètres à droite. Cela nous donne une expression simplifiée pour l’aire du couvercle du cylindre 𝐴.
Pour résoudre cette équation, nous insérons les valeurs que nous connaissons 𝑉 un, 𝑃 un et 𝑃 deux. Et nous allons également convertir notre distance de 10 centimètres pour qu’elle soit en mètres. Parce que 100 centimètres est égal à un mètre, nous convertissons 10 centimètres en mètres en déplaçant la virgule de deux rangs vers la gauche. 10 centimètres est alors 0,10 mètres. Et si nous remplaçons 𝑉 un, 𝑃 un et 𝑃 deux, nous obtenons cette expression globale.
Avant de calculer, regardons les unités entre parenthèses. Les kilopascals divisés par les kilopascals s’annulent. Il n’y aura donc pas d’unités dans ces parenthèses. Et puis en dehors des parenthèses, nous avons des mètres cube divisés par des mètres. Cela entraînera l’annulation d’un facteur de mètres, ce qui nous donnera une réponse finale en mètres carrés, une aire. En calculant cette expression puis en arrondissant notre résultat de sorte que nous ne conservions que deux décimales, nous constatons que l’aire du couvercle du cylindre est de 0,09 mètres carré.
Gardons ce résultat de côté et passons maintenant à la deuxième partie de notre question.
Quelle est la hauteur du cylindre ? Donnez votre réponse à deux décimales près.
Dans la première partie, nous avons nommé la hauteur du cylindre ℎ. Et maintenant, nous voulons déterminer cette valeur. Puisque nous connaissons maintenant l’aire du couvercle du cylindre 𝐴 ainsi que le volume du cylindre avant que le couvercle ne soit comprimé, 𝑉 un, nous pouvons utiliser ces valeurs avec le fait que 𝑉 un est égal à 𝐴 fois ℎ pour déterminer ℎ. En divisant les deux côtés de cette équation par l’aire 𝐴, nous trouvons que ℎ est égal à 𝑉 un sur 𝐴. 𝑉 un est de 0,042 mètres cube, et nous avons trouvé que 𝐴 mesure environ 0,09 mètres carré. Lorsque nous effectuons cette division, deux facteurs de mètres s’annulent au numérateur et au dénominateur. Il ne nous restera que des mètres. À deux décimales près, ℎ est de 0,46 mètres. C’est la hauteur du cylindre.
Regardons maintenant la prochaine partie de notre question.
Quelle était l’intensité de la force appliquée sur le couvercle ? Donnez votre réponse au newton le plus proche.
Dans cette partie de notre question, nous voulons déterminer l’intensité de cette force appelée 𝐅. Il s’agit de la force qui pousse le couvercle pour le comprimer de 10 centimètres. Pour commencer à chercher 𝐅, rappelons la relation de Pascal selon laquelle la pression est égale à une force divisée par une aire. En une phrase, on pourrait dire que la pression est égale à une force repartie sur une aire. Dans notre cas, cette force 𝐅 est répartie sur l’aire du couvercle du cylindre. En multipliant les deux côtés de cette équation par l’aire 𝐴, nous trouvons que la force égale la pression fois l’aire. Et cette aire 𝐴 est l’aire de notre couvercle, celle que nous avons trouvé plus tôt.
Pour utiliser la bonne valeur pour la pression 𝑃 ici, nous voudrons être un peu prudents. Nous avons vu qu’au début l’air dans notre cylindre était à une pression 𝑃 un. Et puis à la fin, après la compression du couvercle, il était à une pression 𝑃 deux. La pression 𝑃 dans cette équation est spécifiquement celle associée à la force 𝐅. Autrement dit, 𝑃 est égal à la différence entre 𝑃 un et 𝑃 deux. La pression 𝑃 est alors égale à 129 kilopascals moins 101 kilopascals, soit 28 kilopascals. C’est la quantité de pression ajoutée à la pression initiale de l’air 𝑃 un due à l’application de la force 𝐅.
Si nous remplaçons la pression 𝑃 et l’aire 𝐴 de notre équation pour la force 𝐅, il y aura plusieurs étapes que nous devons effectuer avant de calculer cette force. Tout d’abord, nous voulons nous assurer que les unités sont homogènes. Et pour ce faire, nous allons changer cette valeur de kilopascals en pascals. 1000 pascals est égal à un kilopascal. Nous allons donc multiplier ce nombre par 1000. 28 fois 1000 est 28000.
En termes d’unités, nous pouvons maintenant rappeler qu’un pascal est égal à un newton par mètre carré. Si nous remplaçons les pascals par des newtons par mètre carré dans cette expression, nous verrons alors que les mètres carrés au dénominateur ici s’annuleront avec les mètres carrés ici. Cela nous laissera avec des newtons, ce qui est exactement ce que nous voulons.
Avant de multiplier ces valeurs ensemble, notez qu’il s’agit d’une très grande valeur et que nous l’utilisons pour multiplier une valeur approximative. Rappelons que nous avons obtenu 0,09 mètres carrés par approximation, en arrondissant. Parce que nous multiplions ce nombre par un si grand nombre, 28000, même les petites erreurs dues à l’arrondi seront amplifiées. Ce que nous voulons faire alors, c’est d’utiliser une valeur exacte pour l’aire du couvercle de notre cylindre plutôt que celle arrondie.
L’expression originale que nous avons utilisée pour calculer l’aire ressemblait à ceci. Nous avons notre volume 𝑉 un divisé par 0,10 mètres. Et cela multipliait la quantité un moins notre pression 𝑃 un divisée par notre pression 𝑃 deux. Lorsque nous calculons cela, nous obtenons une valeur exacte pour l’aire de notre cylindre 𝐴. En multipliant la pression 𝑃 fois la surface 𝐴, on obtient 2552,55 et ainsi de suite newtons. On nous dit de donner notre réponse arrondie au newton le plus proche, et donc, comme le chiffre immédiatement après la virgule est supérieur ou égal à cinq, la réponse finale que nous donnons est 2553 newtons. C’est l’intensité de la force qui exerce une pression sur le couvercle du cylindre.
Notons maintenant cette valeur sur le côté et passons à la dernière partie de notre question.
Quelle quantité de travail a été effectuée pour comprimer le gaz ? Donnez votre réponse au joule le plus proche.
Le travail effectué sur un objet 𝑊 est égal à la force agissant sur cet objet multipliée par le déplacement de cet objet. Dans notre scénario, nous avons une force d’environ 2553 newtons qui déplace le couvercle du cylindre sur une distance de 10 centimètres. Nous avons vu que pour convertir 10 centimètres en mètres, il faut déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche. En faisant cette conversion, nous obtiendrons une réponse finale en newton mètres, soit joules. En arrondissant ce produit au joule le plus proche, nous obtenons 255. Le travail effectué pour comprimer le gaz était de 255 joules.
