Vidéo question :: Déterminer les coordonnées des extrema locaux pour une fonction rationnelle Mathématiques

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Déterminez les coordonnées de tous les minima et maxima locaux de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 est égal à trois divisé par 𝑥 plus cinq plus six 𝑥.

La question nous demande de trouver toutes les coordonnées des minima et maxima locaux de la fonction 𝑓 de 𝑥. La première chose à retenir est que les extrema locaux se produisent toujours aux points critiques de notre fonction. Rappelez-vous, nous disons qu’il y a un point critique lorsque 𝑥 est égal à 𝑎 si 𝑓 prime de 𝑎 est égal à zéro ou la dérivée de 𝑓 n’existe pas lorsque 𝑥 est égal à 𝑎. La première chose que nous allons faire est de vérifier l’ensemble du domaine de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥. La raison pour laquelle nous faisons cela est que si 𝑓 de 𝑥 n’est pas défini pour une certaine valeur de 𝑎, alors il ne peut certainement pas avoir de maximum local ou de minimum local pour ce point.

Nous pouvons voir que la seule partie de notre fonction qui ne sera pas définie pour une valeur de 𝑥 est lorsque nous divisons par 𝑥. Ainsi, notre fonction 𝑓 de 𝑥 n’est pas définie lorsque 𝑥 est égal à zéro. Nous savons qu’elle est définie pour toutes les autres valeurs réelles de 𝑥. Nous n’avons donc pas besoin de nous inquiéter du cas où 𝑥 est égal à zéro. Trouvons maintenant tous les points critiques de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Pour trouver les points critiques de notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous devons dériver 𝑓 de 𝑥. Pour ce faire, réécrivons-la comme trois 𝑥 puissance moins un plus cinq plus six 𝑥 puissance un.

Nous pouvons maintenant dériver terme par terme en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous multiplions par notre exposant de 𝑥 et réduisons cet exposant de un. Cela nous donne moins trois 𝑥 puissance moins deux plus six. Nous réorganisons nos termes et utilisons nos lois sur les exposants pour écrire ceci comme six moins trois divisé par 𝑥 au carré. Maintenant rappelez-vous, nous avons écrit cette expression pour 𝑓 prime de 𝑥 afin de trouver les points critiques de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Commençons donc par vérifier toutes les valeurs de 𝑥 où notre dérivée n’existe pas.

Nous pouvons voir que les seules valeurs de 𝑥 où notre dérivée n’existe pas sont lorsque nous divisons par zéro. Mais rappelez-vous, 𝑥 est égal à zéro n’est pas dans le domaine de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Cela signifie que pour toutes les valeurs de 𝑥 dans le domaine de notre fonction 𝑓 de 𝑥, la dérivée de notre fonction existe. Ainsi, les seuls points critiques possibles se produiront lorsque la dérivée est égale à zéro. Vérifions alors maintenant les valeurs de 𝑥 où notre dérivée est égale à zéro. Cela signifie que nous voulons trouver les valeurs de 𝑥 où six moins trois sur 𝑥 au carré est égal à zéro.

Nous allons ajouter trois sur 𝑥 carré aux deux côtés de cette équation puis multiplier par 𝑥 carré. Ensuite, nous diviserons les deux côtés de l’équation par six. Cela nous donne 𝑥 au carré est égal à un demi. Puis, nous pouvons résoudre ce problème en prenant la racine carrée des deux côtés de cette équation. Rappelez-vous, nous aurons une racine carrée positive et une racine carrée négative. Cela nous donne 𝑥 est égal à plus ou moins un divisé par racine de deux. Nous pouvons simplifier cela légèrement au dénominateur. Nous multiplions le numérateur et le dénominateur par racine de deux. Cela nous donne un sur racine de deux est égal à racine de deux divisée par deux. Ainsi, nous avons trouvé deux points critiques de notre fonction 𝑓 de 𝑥, un lorsque 𝑥 est égal à racine de deux sur deux et l’autre lorsque 𝑥 égal à moins racine de deux sur deux.

Mais rappelez-vous, la question veut que nous trouvions les coordonnées de tous les maxima locaux et minima locaux de cette fonction. Nous devons donc vérifier si ces points critiques sont des extrema locaux, puis trouver les coordonnées de tous les extrema locaux. Pour vérifier si ces points critiques sont des extrema locaux, nous allons utiliser le test de la dérivée première. Nous allons faire cela parce que nous avons déjà trouvé une expression pour 𝑓 prime de 𝑥. Utilisons le test de la dérivée première. Nous voulons trouver la pente de notre fonction à gauche et à droite de nos points critiques. Seulement, nous devons être prudents dans ce cas. Rappelez-vous que notre fonction dérivée n’est pas définie lorsque 𝑥 est égal à zéro. Cela signifie que lorsque nous choisissons nos valeurs de 𝑥 pour chacun de nos points critiques, nous ne voulons pas choisir de points de part et d’autre de 𝑥 égale à zéro.

Ainsi, pour utiliser le test de la dérivée première pour vérifier pour 𝑥 est égal à moins la racine de deux sur deux, nous avons choisi deux valeurs négatives de 𝑥. De même, lorsque nous choisissions nos valeurs de 𝑥 pour 𝑥 est égal à la racine de deux sur deux dans le test de la dérivée première, nous avons choisi deux valeurs positives de 𝑥. Commençons donc à remplir notre tableau. Premièrement, lorsque 𝑥 est égal à moins la racine de deux sur deux et lorsque 𝑥 est égal à la racine de deux sur deux, nous avons la pente de notre fonction égale à zéro. Ensuite, trouvons 𝑓 prime de moins un. Nous utilisons 𝑥 est égal à moins un dans notre expression pour 𝑓 prime de 𝑥. Nous obtenons six moins trois divisé par moins un au carré. Nous pouvons alors calculer cette expression. Nous obtenons trois. Ainsi, la pente de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à moins un est positive.

Ensuite, trouvons la pente de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à moins un demi. Nous allons utiliser 𝑥 est égal à moins 0,5 dans notre expression pour 𝑓 prime de 𝑥. Nous obtenons six moins trois divisé par moins 0,5 au carré. Si nous calculons cette expression, nous obtenons moins six. Nous avons donc montré que la pente de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à moins un demi est négative. Nous pouvons faire quelque chose de similaire pour trouver la pente de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à un demi et la pente de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à un. Nous obtenons 𝑓 prime de 0,5 est égal à moins six. Ainsi, la pente de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à un demi est négative et 𝑓 prime de un est égale à trois. La pente de notre fonction lorsque 𝑥 est égal à un est donc positive.

Alors, que signifie ce tableau pour nos points critiques ? Nous voyons que lorsque 𝑥 est égal à moins un, notre fonction est croissante. Cependant, lorsque 𝑥 est égal à moins racine de deux sur deux, notre pente est égale à zéro. Lorsque 𝑥 est égal à moins un demi, notre pente est négative. Nous pouvons donc voir à partir de ce dessin, que lorsque 𝑥 est égal à moins la racine de deux sur deux, nous avons un maximum local. Nous pouvons faire la même chose pour notre autre point critique. Lorsque 𝑥 est égal à moins un demi, notre pente est négative. Cependant, lorsque 𝑥 est égal à racine de deux sur deux, notre pente est égale à zéro. Enfin, lorsque 𝑥 est égal à un, notre pente est positive. Nous pouvons alors voir à partir de ce dessin, que lorsque 𝑥 est égal à racine de deux sur deux, nous avons un minimum local.

Nous avons donc montré que nos deux points critiques sont des extrema locaux. Tout ce que nous devons faire maintenant est de trouver les coordonnées de nos points critiques. Commençons par 𝑥 est égal à la racine de deux sur deux. Nous utilisons cela dans notre expression pour 𝑓 de 𝑥. Nous obtenons trois divisé par racine de deux sur deux plus cinq plus six fois racine de deux sur deux. Rappelez-vous que la racine de deux sur deux est en fait un divisé par la racine de deux. Ainsi, diviser trois par un sur la racine de deux est la même chose que multiplier trois par un sur la racine de deux. Cela signifie que nous pouvons simplifier notre expression en trois racine de deux plus cinq plus trois racine de deux, ce qui est bien sûr égal à cinq plus six racine de deux.

Nous ferons de même pour trouver les coordonnées lorsque 𝑥 est égal à moins la racine de deux sur deux. Nous utilisons cela dans notre expression pour 𝑓 de 𝑥. Nous obtenons trois divisé par moins racine de deux sur deux plus cinq plus six fois moins racine de deux sur deux. Nous simplifions ensuite cela de la même manière que nous l’avons fait auparavant. Nous obtenons moins trois racine de deux plus cinq moins trois racine de deux, que nous pouvons calculer ; nous obtenons cinq moins six racine de deux.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à trois sur 𝑥 plus cinq plus six 𝑥 a un minimum local avec des coordonnées racine de deux sur deux, cinq plus six racine de deux et un maximum local avec des coordonnées de moins racine de deux sur deux , cinq moins six racine de deux.