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Vidéo question :: Déterminer le type de concavité d’une courbe paramétrique Mathématiques • Troisième secondaire

On considère la courbe paramétrique 𝑥 = cos 𝜃 et 𝑦 = 2 sin 𝜃. Déterminez si cette courbe est convexe, concave ou ni l’un ni l’autre en 𝜃 = 𝜋/6.

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Transcription de la vidéo

On considère la courbe paramétrique 𝑥 est égal au cosinus de 𝜃 et 𝑦 est égal à deux fois le sinus de 𝜃. Déterminez si cette courbe est convexe, concave ou ni l’un ni l’autre en 𝜃 est égal à 𝜋 sur six.

La question nous donne une courbe définie par une paire d’équations paramétriques. On nous donne 𝑥 est une fonction de 𝜃 et 𝑦 est une fonction de 𝜃. Nous devons déterminer la concavité de cette courbe au point où 𝜃 est égal à 𝜋 sur six. Pour commencer, rappelons ce que nous entendons par la concavité d’une courbe.

La concavité d’une courbe nous indique si les droites tangentes se trouvent au-dessus ou en-dessous de la courbe. Et une façon de vérifier cela est de vérifier le signe de la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Si d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est positif en un point, alors notre courbe est convexe en ce point. Et de même, si d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est négatif en un point, alors notre courbe est concave en ce point. Donc, nous voulons trouver une expression pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Cependant, nous ne pouvons pas le faire directement parce que nous avons une courbe paramétrique. Rappelons quelques-unes de nos règles de calcul des dérivées des courbes paramétriques.

Si 𝑦 est une fonction de 𝜃 et 𝑥 est une fonction de 𝜃, nous rappelons qu’en utilisant la règle de la chaîne, nous pouvons voir que d𝑦 sur d𝑥 sera égal à d𝑦 sur d𝜃 divisé par d𝑥 sur d𝜃. Et c’est vrai partout sauf si notre dénominateur d𝑥 sur d𝜃 est égal à zéro. Et nous pouvons arriver à une autre formule en utilisant une méthode très similaire. Nous savons que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Donc pour trouver d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré, nous devons dériver d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥. Encore une fois, nous pouvons le faire en utilisant la règle de la chaîne. En faisant cela, nous obtenons d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝜃 divisé par d𝑥 sur d𝜃. Et encore une fois, c’est vrai partout sauf si notre dénominateur d𝑥 sur d𝜃 est égal à zéro.

Donc pour trouver la concavité de notre courbe, nous voulons trouver une expression pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Mais pour cela, nous devons trouver une expression pour d𝑦 sur d𝑥. Et pour trouver une expression de cela, nous devons trouver d𝑥 sur d𝜃 et d𝑦 sur d𝜃. Et, bien sûr, on nous donne 𝑥 et 𝑦 en fonction de 𝜃. Donc, nous pouvons le faire. Commençons par trouver une expression pour d𝑥 sur d𝜃.

Nous savons que 𝑥 est égal au cosinus de 𝜃. Donc, ce n’est que la dérivée du cosinus de 𝜃 par rapport à 𝜃. Et c’est un résultat standard des dérivées trigonométriques que nous devons mémoriser. La dérivée du cosinus de 𝜃 par rapport à 𝜃 est moins sinus de 𝜃. Nous pouvons faire la même chose pour trouver une expression pour d𝑦 sur d𝜃. C’est la dérivée de deux fois le sinus de 𝜃. Et si nous calculons cela, nous obtenons deux fois le cosinus de 𝜃.

Maintenant que nous avons trouvé des expressions pour d𝑦 sur d𝜃 et d𝑥 sur d𝜃, nous pouvons trouver une expression pour notre fonction du gradient d𝑦 sur d𝑥. Nous avons d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝜃 divisé par d𝑥 sur d𝜃. Nous avons déjà montré que d𝑦 sur d𝜃 est deux cosinus de 𝜃 et d𝑥 sur d𝜃 est moins sinus de 𝜃. Donc, nous obtenons deux cosinus de 𝜃 divisé par moins sinus de 𝜃. Nous pourrions laisser notre réponse comme ceci ; cependant, rappelez-vous que nous allons devoir calculer la dérivée de cela par rapport à 𝜃. Ainsi, au lieu de calculer la dérivée de cela en utilisant la règle du quotient, nous pourrions simplifier cela.

Pour ce faire, nous rappelons que la cotangente de 𝜃 est le cosinus de 𝜃 divisé par le sinus de 𝜃. Et nous connaissons les résultats des dérivées trigonométriques qui nous aident à trouver la dérivée de la cotangente de 𝜃. Donc, en utilisant cela pour simplifier notre expression, nous obtenons moins deux fois la cotangente de 𝜃. Et nous pouvons voir que c’est beaucoup plus facile à calculer la dérivée par rapport à 𝜃. Nous sommes maintenant prêts à commencer à trouver notre expression pour notre fonction dérivée seconde.

Commençons par trouver l’expression du numérateur. C’est la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝜃. Nous avons déjà trouvé que d𝑦 sur d𝑥 est moins deux cotangente de 𝜃. Donc, nous devons calculer la dérivée de moins deux cotangente de 𝜃 par rapport à 𝜃. Et encore une fois, nous pouvons utiliser un résultat standard de dérivation trigonométrique. La dérivée de cotangente 𝜃 par rapport à 𝜃 est moins cosécante au carré de 𝜃. Donc en appliquant ce résultat, nous obtenons moins deux fois moins cosécante au carré de 𝜃. Nous pouvons annuler les deux facteurs de moins un, ce qui nous laisse juste avec deux fois la cosécante au carré de 𝜃.

Nous sommes maintenant prêts à utiliser notre formule pour trouver une expression pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Tout d’abord, au numérateur, nous obtenons la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝜃. Nous avons trouvé que c’était égal à deux cosécante au carré de 𝜃. Et nous devons diviser cela par d𝑥 sur d𝜃. Nous avons déjà trouvé que c’était égale à moins sinus de 𝜃. Et nous pouvons simplifier cette expression. Rappelez-vous, la cosécante de 𝜃 est équivalente à un divisé par le sinus de 𝜃. Ainsi, multiplier par la cosécante au carré de 𝜃 revient à diviser par le sinus au carré de 𝜃. Cela signifie que nous pouvons réorganiser notre équation pour voir que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à moins deux divisé par le sinus au cube de 𝜃.

Cependant, rappelez-vous que la question veut que nous trouvions la concavité de la courbe au point où 𝜃 égale 𝜋 sur six. Pour ce faire, nous remplaçons 𝜃 égal à 𝜋 sur six dans notre équation pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. En remplaçant 𝜃 par 𝜋 sur six, nous obtenons moins deux divisé par le sinus au cube de 𝜋 sur six. Et si nous calculons cette expression, nous obtenons moins 16. Donc, ce que nous avons montré, c’est que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six est négative. Par conséquent, notre courbe doit être concave lorsque 𝜃 est égal à 𝜋 sur six.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la courbe paramétrique 𝑥 est égal au cosinus de 𝜃 et 𝑦 est égal à deux fois le sinus de 𝜃 est concave au point où 𝜃 est égal à 𝜋 sur six.

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