Vidéo : Formule d’Euler et introduction à la théorie des groupes

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Formule d’Euler et introduction à la théorie des groupes

23:00

Transcription de vidéo

Il y a deux ans, presque jour pour jour, je montais la première vidéo de cette chaîne sur la formule d’Euler, 𝑒 de 𝜋𝑖 étant égal à moins un. Pour l’anniversaire, je voudrais revenir sur cette même idée. D’une part, j’ai toujours voulu améliorer la présentation. Mais je ne reviendrais pas sur un vieux sujet s’il n’y avait pas quelque chose de nouveau à enseigner. Vous voyez, l’idée sous-jacente à cette vidéo était de prendre certains concepts d’un domaine mathématique appelé la théorie des groupes et de montrer comment ils donnent à la formule d’Euler une interprétation beaucoup plus riche qu’une association miroir des nombres. Et, il y a deux ans, j’ai pensé qu’il pourrait être amusant d’utiliser ces idées sans faire référence à la théorie des groupes elle-même ni à aucun des termes techniques qu’elle contient. Mais j’en suis venu à constater que vous aimiez tous vraiment entrer dans le calcul même si cela prend du temps.

Donc, voici deux ans plus tard, introduisons, vous et moi, une introduction aux bases de la théorie des groupes et expliquez comment la formule d’Euler prend vie sous cette lumière. Si tout ce que vous voulez, c’est une explication rapide de la formule d’Euler et si vous êtes à l’aise avec le calcul vectoriel. Je vais continuer et mettre en place une explication particulièrement courte à l’écran, sur laquelle vous pouvez vous arrêter et réfléchir. Si cela n’a pas de sens, ne vous inquiétez pas. Ce n’est pas nécessaire pour où nous allons. La raison pour laquelle je veux sortir cette vidéo sur la théorie des groupes n’est pas parce que je pense que c’est une meilleure explication. Ce n’est même pas une preuve complète. C’est juste une intuition en fait. C’est parce qu’il a la chance de changer votre façon de penser les nombres et votre façon de penser l’algèbre.

Vous voyez, la théorie des groupes consiste à étudier la nature des symétries. Par exemple, un carré est une figure très symétrique. Mais qu’entendons-nous réellement par là ? Une façon de répondre à cette question est de demander quelles sont les actions que vous pouvez entreprendre sur le carré et qui laissent sembler impossible à distinguer de la façon dont elles ont commencé. Par exemple, vous pouvez le faire pivoter de 90 degrés dans le sens antihoraire. Et cela ressemble totalement à la façon dont cela a commencé. Vous pouvez également le retourner autour de cette droite verticale et, encore une fois, il semble toujours identique. En fait, le problème de cette symétrie parfaite est qu’il est difficile de garder trace des mesures qui ont été réellement prises. Donc, pour aider, je vais continuer et coller une image asymétrique ici. Et nous appelons chacune de ces actions une symétrie du carré. Et toutes les symétries forment ensemble un groupe de symétries ou simplement un groupe, pour faire court.

Ce groupe particulier comprend huit symétries. Il y a l’action de ne rien faire, qui est celle que nous comptons, plus trois rotations différentes. Et puis, il y a quatre façons de le retourner. Et, en fait, ce groupe de huit symétries a un nom spécial. C’est ce qu’on appelle le groupe diédral d’ordre huit. Et c’est un exemple d’un groupe fini, composé de seulement huit actions. Mais beaucoup d’autres groupes consistent en une infinité d’actions. Pensez à toutes les rotations possibles, par exemple, de n’importe quel angle. Peut-être que vous pensez à cela comme à un groupe qui agit sur un cercle, capturant toutes les symétries de ce cercle sans impliquer de le retourner. Ici, toutes les actions de ce groupe de rotation se situe quelque part sur le continuum infini entre zéro et deux 𝜋 radians.

Un aspect intéressant de ces actions est que nous pouvons associer chacune d’elles à un seul point sur le cercle lui-même, la chose sur laquelle on agit. Vous commencez par choisir un point quelconque, peut-être celui de droite. Ensuite, chaque symétrie de cercle, chaque rotation possible, amène ce point marqué à un endroit unique du cercle. Et l’action elle-même est complètement déterminée par l’endroit où elle se situe. Maintenant, cela ne se produit pas toujours avec des groupes. Mais c’est bien quand cela se produit, car cela nous donne un moyen d’étiqueter les actions elles-mêmes, ce qui peut être assez délicat à penser. L’étude des groupes ne concerne pas seulement ce qu’est un ensemble particulier de symétries. Qu’il s’agisse des huit symétries d’un carré, du continuum infini de symétries du cercle ou de tout ce dont vous rêvez. Le véritable cœur de l’étude est de savoir comment ces symétries jouent les unes avec les autres.

Sur le carré, si je tourne de 90 degrés puis que je pivote autour de l’axe vertical, l’effet global est le même que si je venais de basculer sur cette diagonale. Donc, dans un certain sens, cette rotation plus le retournement vertical est égal à ce retournement en diagonale. Sur le cercle, si je tourne à 270 degrés et que je le suis ensuite avec une rotation de 120 degrés, l’effet global est le même que si je venais de faire une rotation de 30 degrés dès le début. Ainsi, dans ce groupe de cercle, une rotation de 270 degrés plus une rotation de 120 degrés équivaut à une rotation de 30 degrés. Et en général, avec tout groupe, toute collection de ces types d’actions symétriques, il existe une sorte d’arithmétique dans laquelle vous pouvez toujours effectuer deux actions et les additionner pour en obtenir une troisième, en les appliquant l’une après l’autre. Ou peut-être pensez-vous que cela multiplie les actions. Cela n’a pas vraiment d’importance. Le fait est qu’il existe un moyen de combiner les deux actions pour en sortir une autre.

Cet ensemble de relations sous-jacentes, toutes les associations entre des paires d’actions et l’action unique qui équivaut à s’appliquer l’une après l’autre, est vraiment ce qui fait d’un groupe un groupe. Il est en fait fou de constater à quel point les mathématiques modernes sont enracinées dans la compréhension de la manière dont un ensemble d’actions est organisé par cette relation. Cette relation entre des paires d’actions et l’action unique que vous obtenez en les composant. Les groupes sont extrêmement généraux. Un grand nombre d’idées différentes peuvent être formulées en termes de symétries et de composition de symétries. Et l’exemple le plus familier est peut-être celui des nombres, juste des nombres ordinaires. Et il existe en fait deux manières différentes de penser les nombres en tant que groupe. L’une des actions composées va ressembler à une addition. Et un autre où les actions de composition ressembleront à une multiplication.

C’est un peu bizarre parce que nous ne considérons généralement pas les nombres comme des actions. Nous pensons généralement à eux comme à compter les choses. Mais laissez-moi vous montrer ce que je veux dire. Pensez à toutes les façons dont vous pourriez faire glisser une droite numérique à gauche ou à droite le long de celle-ci. Cette collection de toutes les actions glissantes est un groupe, ce que vous pourriez appeler le groupe de symétries sur une droite infinie. Et de la même manière, les actions du groupe de cercle peuvent être associées à des points distincts de ce cercle. Ceci est un autre de ces groupes spéciaux où nous pouvons associer chaque action à un point unique sur la chose sur laquelle elle agit. Vous suivez juste où se termine le point qui commence à zéro.

Par exemple, le nombre trois est associé à l’action de glisser à droite de trois unités. Le nombre négatif deux est associé à l’action de faire glisser deux unités vers la gauche. Puisque c’est l’action unique qui tire le point à zéro sur le point à deux négatifs. Le nombre zéro lui-même ? Eh bien, cela est associé à l’action de ne rien faire. Ce groupe d’actions coulissantes, chacune associée à un nombre réel unique, a un nom spécial. Le groupe additif de nombres réels. La raison pour laquelle le mot additif est là est due à l’opération de groupe consistant à appliquer une action suivie d’une autre. Si je glisse à droite de trois unités, puis de deux unités, l’effet global est le même que si je glissais à droite de trois plus deux ou cinq unités. Assez simple, nous ajoutons simplement les distances de chaque diapositive.

Mais le point ici est que cela donne une vue alternative pour ce que même les nombres sont. Ils sont un exemple dans une catégorie beaucoup plus large de groupes, des groupes de symétries agissant sur un objet. Et l’arithmétique de l’ajout de nombres n’est qu’un exemple de l’arithmétique que tout groupe de symétries contient. Nous pourrions également étendre cette idée en nous interrogeant sur les actions glissantes sur le plan complexe. Les nombres récemment introduits — 𝑖, deux 𝑖, trois 𝑖, etc — sur cette droite verticale seraient tous associés à des mouvements de glissement verticaux. Puisque ce sont les actions qui font glisser le point à zéro jusqu’au point pertinent sur cette droite verticale. Le point situé ici à trois plus deux 𝑖 serait associé à l’action consistant à faire glisser le plan de manière à ce que le point zéro soit déplacé vers le haut et à droite.

Et il est logique que nous appelions cela trois plus deux 𝑖. Cette action de glissement en diagonale est la même que si vous glissiez d’ abord de trois à droite puis que vous la suiviez avec une glissière qui correspond à deux 𝑖, soit deux unités verticalement. De même, voyons comment la composition de l’une ou l’autre de ces actions se décompose généralement. Considérez cette action de glissement par trois-plus-deux-𝑖 ainsi que cette action de glissement par un-moins-trois-𝑖 et imaginez appliquer l’un d’entre eux puis l’autre. L’effet global, la composition de ces deux actions glissantes, est le même que si nous avions glissé de trois plus un à droite et deux moins trois verticalement. Remarquez comment cela implique l’ajout de chaque composante. Donc, composer des actions glissantes est une autre façon de réfléchir à ce que signifie réellement ajouter des nombres complexes.

Cette collection de toutes les actions glissantes sur le plan complexe 2D porte le nom de groupe additif de nombres complexes. Là encore, le résultat est que les nombres, même complexes, ne sont qu’un exemple de groupe. Et l’idée d’addition peut être pensée en termes d’application successive d’actions. Mais les nombres, même schizophrènes, mènent également une vie complètement différente en tant que groupe complètement différent. Considérez un nouveau groupe d’actions sur la droite numérique, de toutes les manières possibles de l’étirer ou de l’écraser, en conservant un espacement uniforme et en maintenant fixe le nombre zéro. Encore une fois, ce groupe d’actions a cette propriété intéressante dans laquelle nous pouvons associer chaque action du groupe à un point spécifique de la chose sur laquelle il agit.

Dans ce cas, suivez où va le point qui commence par le nombre un. Par exemple, il y a une seule et unique action d’étirement qui amène ce point du point un au point trois ; à savoir, l’étirement par un facteur de trois. De même, il y a une et une seule action qui amène le point un au point un demi ; à savoir, écrasement par un facteur un demi. J’aime imaginer utiliser une main pour fixer le nombre zéro en place et utiliser l’autre pour faire glisser le nombre un où je veux. Tandis que le reste de la droite numérique fait tout ce qu’il faut pour rester espacé régulièrement. De cette manière, chaque nombre positif est associé à une action d’étirement ou de compression unique.

Maintenant, remarquez à quoi ressemble la composition dans ce groupe. Si j’applique l’action d’étirement par trois et que je fais ensuite l’action d’étirement par deux. L’effet global est le même que si je venais d’appliquer l’action d’étirement par six, le produit des deux nombres d’origine. Et en général, appliquer une de ces actions suivies d’une autre correspond à la multiplication des nombres auxquels elles sont associées. En fait, le nom de ce groupe est le groupe multiplicatif de nombres réels positifs. Ainsi, la multiplication, la multiplication familière ordinaire, est un autre exemple de cette idée très générale et très vaste des groupes et de l’arithmétique au sein des groupes. Et nous pouvons également étendre cette idée au plan complexe. Encore une fois, j’aime bien penser à fixer le point zéro d’une main et à traîner le point autour du point un, tout en maintenant le reste espacé de manière égale.

Mais cette fois-ci, alors que nous faisons glisser le nombre un vers des endroits situés en dehors de la droite numérique, nous voyons que notre groupe ne comprend pas seulement des actions d’étirement et de compression. Mais les actions qui ont également une composante de rotation. L’exemple par excellence de ceci est l’action associée au point 𝑖, une unité au-dessus de zéro. Ce qu’il faut pour faire glisser le point au point 𝑖, c’est une rotation de 90 degrés. Donc, l’action multiplicative associée à 𝑖 est une rotation de 90 degrés. Et remarquez que si j’applique cette action deux fois de suite, l’effet global est de retourner le plan à 180 degrés. Et c’est l’action unique qui amène le point un au point moins un. Donc, dans ce sens, 𝑖 fois 𝑖 est égal à moins un. Cela signifie que l’action associée à 𝑖 suivie de la même action associée à 𝑖 a le même effet global que l’action associée à l’action moins un.

Comme autre exemple, voici l’action associée à deux plus 𝑖, faisant glisser un vers ce point-là. Si vous le souhaitez, vous pouvez imaginer une rotation de 30 degrés suivie d’un étirement par un facteur de racine carrée de cinq. Et en général, chacune de ces actions multiplicatives est une combinaison d’un étirement ou d’un écrasement, une action associée à un point de la droite des nombres réels positifs. Suivie par une rotation pure, où les rotations pures sont associées à des points de ce cercle, celui de rayon un. Ceci est très similaire à la manière dont les actions glissantes dans le groupe additif pourraient être décomposées en une translation horizontale pure, représentée par des points sur la droite numérique, plus une translation purement verticale, représentée par des points sur cette droite verticale.

Cette comparaison de la décomposition des actions dans chaque groupe sera importante, alors souvenez-vous-en. Dans chacune d’elles, vous pouvez décomposer n’importe quelle action en une action de nombre purement réel, suivie de quelque chose de spécifique aux nombres complexes. Qu’il s’agisse de diapositives verticales pour le groupe additif ou de rotations pures pour le groupe multiplicatif. Voilà donc notre introduction rapide aux groupes.

Un groupe est un ensemble d’actions symétriques sur un objet mathématique, qu’il s’agisse d’un carré, d’un cercle, de la droite numérique ou de tout ce que vous imaginez. Et chaque groupe a une certaine arithmétique, où vous pouvez combiner deux actions en les appliquant l’une après l’autre et en demandant quelle autre action du groupe donne le même effet global. Les nombres, à la fois réels et complexes, peuvent être considérés de manière différente en tant que groupe. Ils peuvent agir en glissant, auquel cas l’arithmétique des groupes ressemble à une addition ordinaire. Ou bien, ils peuvent agir par ces actions d’étirement, de compression ou de rotation. Dans ce cas, l’arithmétique de groupe ressemble à une multiplication.

Et avec cela, parlons des puissances. Notre première introduction aux exposants est de penser à eux en termes de multiplication répétée, non ? Je veux dire, la signification de quelque chose comme deux au cube est de prendre deux fois deux fois deux. Et la signification de quelque chose comme deux puissance cinq est deux fois deux fois deux fois deux fois deux. Et une conséquence de ceci, quelque chose que vous pourriez appeler la propriété d’exposant, est que si j’ajoute deux nombres dans l’exposant, disons deux puissance trois plus cinq, cela peut être décomposé en produit de deux puissance trois fois deux puissance cinq. Et quand vous développez les choses, cela semble assez raisonnable, non ? Mais des expressions comme deux puissance un demi ou deux puissance moins un, encore moins, deux puissance 𝑖 n’ont pas vraiment de sens quand on pense aux exposants comme une multiplication répétée. Je veux dire, qu’est-ce que cela signifie de multiplier par deux la moitié d’une fois ou une fois d’une fois ?

Nous faisons donc quelque chose de très courant en mathématiques et nous étendons au-delà de la définition d’origine, ce qui n’a de sens que pour compter des nombres, et s’applique à toutes sortes de nombres. Mais nous ne faisons pas cela au hasard. Si vous repensez à la définition des exposants fractionnaires et négatifs, vous devez toujours vous assurer que cette propriété, deux sur 𝑥 plus 𝑦, égale deux à, deux à 𝑥, est toujours valable. Pour voir ce que cela pourrait signifier pour des exposants complexes, réfléchissez à ce que cette propriété dit d’une lumière de théorie des groupes. Cela signifie que l’ajout des entrées correspond à la multiplication des sorties. Et cela fait qu’il est très tentant de considérer les entrées non pas simplement comme des nombres mais comme des membres du groupe additif d’actions glissantes. Et pour considérer les résultats non seulement comme des nombres, mais comme des membres de ce groupe multiplicatif d’actions d’étirement et d’écrasement.

À présent, il est bizarre et étrange de penser à des fonctions qui impliquent un type d’action et crachent un autre type d’action. Mais c’est quelque chose qui revient tout le temps dans la théorie des groupes. Et cette propriété exponentielle est très importante pour cette association entre groupes. Cela garantit que si je compose deux actions glissantes, peut-être une translation par moins un, puis une translation par plus deux, cela correspond à la composition des deux actions de sortie. Dans ce cas, écrasement par deux puissance moins un puis étirement par deux au carré. Les mathématiciens décriraient une propriété comme celle-ci en disant que la fonction préserve la structure du groupe en ce sens que l’arithmétique au sein d’un groupe est ce qui lui donne sa structure. Et une fonction comme cette exponentielle joue bien avec cette arithmétique. Les fonctions entre groupes qui préservent l’arithmétique de ce type sont vraiment importantes dans la théorie des groupes. Assez pour qu’ils se méritent un joli nom de fantaisie, homomorphismes.

Maintenant, réfléchissez à ce que tout cela signifie pour associer le groupe additif du plan complexe au groupe multiplicatif du plan complexe. Nous savons déjà que lorsque vous substituer un nombre réel à deux puissance 𝑥, vous obtenez un nombre réel, un nombre réel positif en fait. Donc, cette fonction exponentielle prend n’importe quelle translation purement horizontale et la transforme en une action d’étirement ou de compression pure. Alors, ne croyez-vous pas qu’il serait raisonnable que cette nouvelle dimension d’actions additives, translation en haut et en bas, s’inscrive directement dans cette nouvelle dimension d’actions multiplicatives, de rotations pures ? Ces actions de translation verticale correspondent à des points sur cet axe vertical. Et ces actions multiplicatives en rotation correspondent à des points du cercle de rayon un.

Alors qu’est-ce que cela signifierait pour une fonction exponentielle, comme deux puissance 𝑥, pour cartographier les diapositives purement verticales en rotations pures serait que des nombres complexes sur cette droite verticale, multiples de 𝑖, soient associés à des nombres complexes sur ce cercle unité. En fait, pour la fonction deux puissance 𝑥, l’entrée 𝑖, une translation verticale d’une unité, arrive à correspondre à une rotation d’environ 0.693 radian. C’est-à-dire une promenade autour du cercle d’unités qui couvre 0.693 unité de distance. Avec une autre fonction exponentielle, par exemple cinq puissance 𝑥, cette entrée 𝑖, une translation verticale d’une unité, la transformation serait une rotation d’environ 1.609 radians. Une promenade autour du cercle des unités couvrant exactement 1.609 unités de distance. Ce qui rend le nombre 𝑒 spécial est que lorsque l’exponentielle 𝑒 puissance 𝑥 associe des translations verticales à des rotations, une translation verticale d’une unité, ce qui correspond à 𝑖, est associée à une rotation d’exactement un radian. Une promenade autour du cercle de l’unité couvrant une distance exactement égale à un.

Ainsi, une translation verticale de deux unités correspondrait à une rotation de deux radians. Une translation de trois unités vers le haut correspond à une rotation de trois radians. Et une translation verticale exactement 𝜋 unités correspondant à l’entrée, 𝜋 fois 𝑖, associée à une rotation d’exactement 𝜋 radians, à mi-chemin autour du cercle. Et c’est l’action multiplicative associée au nombre moins un. Maintenant, vous pourriez demander, pourquoi 𝑒 ? Pourquoi pas une autre base ? Eh bien, la réponse complète réside dans le calcul. Je veux dire, c’est le lieu de naissance 𝑒 et où il est défini. Encore une fois, je vais laisser une autre explication à l’écran si vous avez envie d’une description plus complète. Et si vous êtes à l’aise avec le calcul. Mais à un niveau élevé, je dirai que cela a à voir avec le fait que toutes les fonctions exponentielles sont proportionnelles à leur propre dérivée. Mais 𝑒 puissance 𝑥 seul est celui qui est en fait égal à sa dérivée.

Ce que je veux dire ici, c’est que si vous envisagez les choses sous l’angle de la théorie des groupes, considérez les entrées d’une fonction exponentielle comme des translations et les sorties comme des actions d’étirement et de rotation. Cela donne une manière très vivante de lire ce qu’une formule comme celle-ci dit même. Lorsque vous le lisez, vous pouvez penser que les exponentielles, en général, associent des translation purement verticales, les actions additives perpendiculaires à la droite des nombres réels, en rotations pures. Qui sont, en quelque sorte, perpendiculaires aux actions réelles d’étirement des nombres. Et d’ailleurs, 𝑒 puissance 𝑥 le fait de la manière très spéciale qui assure qu’une translation verticale de 𝜋 unités correspond à une rotation exactement 𝜋 radians. La rotation à 180 degrés associée au nombre moins un.

Pour achever le travail ici, je veux montrer une façon de penser à cette fonction 𝑒 puissance 𝑥 comme une transformation du plan complexe. J’aime imaginer d’abord rouler ce plan dans un cylindre, enrouler toutes ces droites verticales en cercles. Et ensuite, en prenant ce cylindre et en le glissant un peu dans le plan, à peu près à zéro. Où chacun de ces cercles concentriques, espacés de manière exponentielle, correspond à ce qui a commencé par des droites verticales.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.