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Vidéo question :: Déterminer le point où la tangente d’une fonction contenant des racines carrées est perpendiculaire à une droite donnée Mathématiques • Troisième secondaire

Déterminez les coordonnées du point en lequel la tangente à la courbe d’équation √ (𝑥) + √ (𝑦) = 15 est perpendiculaire à la droite d’équation -2 𝑥 + 4𝑦 = 25.

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Déterminez les coordonnées du point en lequel la tangente à la courbe d’équation racine de 𝑥 plus racine de 𝑦 égale 15 est perpendiculaire à la droite d’équation moins deux 𝑥 plus quatre 𝑦 égale 25.

Dans cette question, on nous donne une courbe définie implicitement par racine de 𝑥 plus racine de 𝑦 égale 15, et une droite d’équation moins deux 𝑥 plus quatre 𝑦 égale 25. Et nous devons déterminer le point où la tangente à cette courbe est perpendiculaire à la droite. Nous pouvons commencer par rappeler que le coefficient directeur de la tangente à la courbe est donné par la dérivée première, d𝑦 sur d𝑥, calculée en un point. Et pour que deux droites soient perpendiculaires, soit l’une est horizontale et l’autre est verticale, soit en multipliant leurs coefficients directeurs on obtient moins un : 𝑚 indice un fois 𝑚 indice deux sera égal à moins un. Et nous pouvons noter que nous devons être dans le cas où le produit des coefficients directeurs est moins un. Parce que nous pouvons directement déterminer le coefficient directeur de la droite donnée dans l’énoncé.

Et une manière de faire cela est de réécrire l’équation de la droite en forme réduite. Nous ajoutons deux 𝑥 des deux membres de l’équation et nous divisons par quatre. Nous obtenons que 𝑦 est égal à 𝑥 sur deux plus 25 sur quatre. Alors, le coefficient directeur de cette droite est le coefficient de 𝑥. Nous l’appellerons 𝑚 indice deux, qui est égal à un demi. Nous pouvons alors remplacer 𝑚 indice deux égal à un demi dans l’équation des droites perpendiculaires. Ensuite, 𝑚 indice un est le coefficient directeur de la tangente que nous voulons déterminer. Cela nous donne alors que 𝑚 indice un sur deux est égal à moins un. Nous pouvons multiplier par deux pour obtenir que 𝑚 indice un est égal à moins deux.

Nous voulons donc déterminer le point sur la courbe où le coefficient directeur de la tangente en ce point est de moins deux. Rappelons nous que ceci est donné par d𝑦 sur d𝑥 en ce point. Et comme cette courbe est donnée de manière implicite, 𝑦 n’est pas donné comme une fonction de 𝑥, nous allons devoir déterminer une expression de d𝑦 sur d𝑥 en utilisant la dérivation implicite.

Commençons par réécrire l’équation de cette courbe avec des exposants pour les variables. Nous avons 𝑥 puissance un demi plus 𝑦 puissance un demi égal à 15. Et nous allons dériver les deux membres de cette équation par rapport à 𝑥 pour obtenir une expression de d𝑦 sur d𝑥. Nous pouvons dériver cela terme par terme. Commençons par le premier terme. Pour dériver 𝑥 puissance un demi, nous allons utiliser la règle de dérivation d’une puissance. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 puis nous réduisons cet exposant de un. L’exposant de 𝑥 est un demi. Nous multiplions donc par un demi et un demi moins un est égal à moins un demi. Cela nous donne un demi de 𝑥 puissance moins un demi.

Et notons que nous pouvons simplifier cette expression. Multiplier par 𝑥 puissance moins un demi revient à diviser par 𝑥 puissance un demi. Et nous pouvons aussi écrire 𝑥 puissance un demi comme racine 𝑥. Cela nous donne un sur deux racines de 𝑥. Nous allons maintenant faire la même chose avec le deuxième terme du membre de gauche de cette équation. Nous allons dériver 𝑦 puissance un demi par rapport à 𝑥. Mais il faut être un peu prudent. Rappelons que 𝑦 est lui-même une fonction de 𝑥. Nous devons donc dériver cette expression en utilisant la dérivation implicite. Nous pouvons faire cela en utilisant la règle de dérivation en chaine. Nous commençons par dériver 𝑦 puissance un demi par rapport à 𝑦.

Nous pouvons le faire en utilisant la règle de dérivation d’une puissance. Cependant, nous avons déjà dérivé 𝑥 puissance un demi par rapport à 𝑥. Calculer la dérivée de 𝑦 puissance un demi par rapport à 𝑦 donne un résultat similaire. Mais notre variable est 𝑦. Cela nous donne un sur deux racines de 𝑦. Enfin, pour appliquer la règle de dérivation en chaine, nous devons également multiplier cela par d𝑦 sur d𝑥. Enfin, nous devons dériver le membre de droite de cette équation. Notons que 15 est une constante, donc sa dérivée par rapport à 𝑥 est zéro. Cela nous donne un sur deux racines de 𝑥 plus d𝑦 sur d𝑥 fois un sur deux racines de 𝑦 égale à zéro. Cela nous donne une équation impliquant 𝑥, 𝑦 et d𝑦 sur d𝑥. Et rappelons que nous cherchons le point où le coefficient directeur de la tangente est égal à moins deux.

Et comme d𝑦 sur d𝑥 correspond au coefficient directeur de cette tangente, nous pouvons remplacer d𝑦 sur d𝑥 par moins deux. Cela nous donne alors que un sur deux racines de 𝑥 moins deux sur deux racines de 𝑦 est égale à zéro. Nous pouvons alors simplifier cela quelque peu. Nous pouvons simplifier le facteur commun, deux, au numérateur et au dénominateur dans le deuxième terme. Donc, pour tout point de la courbe qui satisfait l’équation un sur deux racines de 𝑥 moins un sur racine de 𝑦 est égal à zéro, le coefficient directeur de sa tangente sera égal à moins deux. Et cela signifie donc qu’elle sera perpendiculaire à la droite moins deux 𝑥 plus quatre 𝑦 égal à 25.

Et pour déterminer le point sur la courbe qui satisfait cette équation, nous allons devoir réarranger l’équation donnée pour notre courbe. En soustrayant racine de 𝑥 des deux membres de l’équation, nous obtenons racine de 𝑦 égale à 15 moins racine de 𝑥. Si nous remplaçons ensuite cette expression de racine de 𝑦 dans notre équation, nous obtenons une équation entièrement en fonction de la variable 𝑥. Cela nous donne un sur deux racines de 𝑥 moins un sur 15 moins racine de 𝑥 est égale à zéro. Toute valeur de 𝑥 qui satisfait cette équation nous donnera les points potentiels sur la courbe où le coefficient directeur de la tangente est perpendiculaire à la droite donnée. Et il y a plusieurs façons de résoudre cette équation. Par exemple, nous pourrions ajouter un sur 15 moins racine de 𝑥 aux deux membres de l’équation, puis prendre l’inverse des deux membres de l’équation.

Mais, nous pouvons également remarquer que nous soustrayons deux fractions et que nous obtenons zéro. Les numérateurs des deux fractions sont identiques. Cela signifie que les dénominateurs des deux fractions doivent également être égaux. En utilisant l’une ou l’autre des méthodes, nous devons obtenir que deux racines de 𝑥 égale 15 moins racine de 𝑥. Et maintenant, nous pouvons simplement résoudre cette équation pour trouver 𝑥. Tout d’abord, nous ajoutons racine de 𝑥 des deux membres de l’équation. Cela nous donne trois racines de 𝑥 égal à 15. Ensuite, nous divisons l’équation par trois. Nous obtenons racine de 𝑥 égale cinq. Enfin, nous mettons les deux membres de l’équation au carré. Nous obtenons 𝑥 égal à 25.

Nous voulons maintenant déterminer l’ordonnée 𝑦 de ce point sur la courbe. Pour cela, il faut remplacer 𝑥 égal 25 dans notre équation réarrangée de la courbe. En remplaçant 𝑥 égal à 25 dans cette équation, nous obtenons racine de 𝑦 égale à 15 moins racine de 25. Et maintenant, nous pouvons résoudre cette équation pour trouver 𝑦. Tout d’abord, nous calculons le membre de droite de l’équation. Nous obtenons que racine de 𝑦 est égale à 10. Ensuite, nous mettons au carré les deux membres de l’équation. Nous obtenons 𝑦 égal à 100. Par conséquent, l’abscisse 𝑥 de ce point est 25 et l’ordonnée 𝑦 est 100. Ce point satisfait l’équation de la courbe, donc il se trouve sur la courbe. Et nous avons montré que le coefficient directeur de la tangente en ce point vaut moins deux, ce qui signifie qu’elle est perpendiculaire à la droite donnée.

Et il convient de noter que nous pouvons vérifier cela. Nous pouvons remplacer 𝑥 par 25 et 𝑦 par 100 dans l’équation contenant d𝑦 sur d𝑥. Si nous faisions cela, nous pourrions réarranger l’équation pour exprimer d𝑦 sur d𝑥. Et nous pourrions vérifier que c’est égal à moins deux. Dans tous les cas, nous avons pu déterminer que le point où la tangente à la courbe racine de 𝑥 plus racine de 𝑦 égale 15 est perpendiculaire à la droite moins deux 𝑥 plus quatre 𝑦 est égal à 25 a pour coordonnées 25, 100.

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