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Vidéo de question : Calculer le taux de variation d’une fonction rationnelle en un point Mathématiques

Calculez le taux de variation de 𝑓 (𝑥) = (6𝑥² + 7) / 7𝑥 en 𝑥 = 3.

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Transcription de vidéo

Calculez le taux de variation de 𝑓 de 𝑥 est égal à six 𝑥 au carré plus sept sur sept 𝑥 en 𝑥 est égal à trois.

Rappelez-vous que la définition du taux de variation instantané d’une fonction en un point 𝑎, également appelée dérivée en ce point, est donnée par la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑎 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑎 le tout sur ℎ. Dans cette question, 𝑓 de 𝑥 est égal à six 𝑥 au carré plus sept sur sept 𝑥. Et nous cherchons le taux de variation instantané lorsque 𝑥 est égal à trois. Nous allons donc laisser 𝑎 égal à trois. Nous pouvons remplacer 𝑎 par trois. Et nous voyons que le taux de variation de la fonction en 𝑥 est égal à trois est donné par la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de trois plus ℎ moins 𝑓 de trois le tout sur ℎ.

Nous allons maintenant remplacer trois plus ℎ et trois dans notre fonction. 𝑓 de trois plus ℎ est alors six fois trois plus ℎ au carré plus sept sur sept fois trois plus ℎ. Et puis, 𝑓 de trois est six fois trois au carré plus sept sur sept fois trois. Nous allons distribuer les parenthèses au numérateur de la première fraction, et nous allons calculer le numérateur de la seconde. Lorsque nous faisons cela, nous voyons que 𝑓 prime de trois, la dérivée de notre fonction et donc le taux de variation 𝑥 est égal à trois, est égal à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de six ℎ au carré plus 36ℎ plus 61 sur sept fois trois plus ℎ moins 61 sur sept fois trois sur ℎ.

Maintenant, je n’ai pas spécifiquement calculé le dénominateur de ces deux fractions. Et cela me rappelle que chaque dénominateur avait un facteur sept. Ainsi, lorsque je soustrais en créant un dénominateur commun, je dois simplement multiplier le numérateur et le dénominateur de ma première fraction par trois et de ma deuxième fraction par trois plus ℎ. Cela me donne un dénominateur commun de 21 fois trois plus ℎ. Et puis, le numérateur est 18ℎ au carré plus 108ℎ plus 183 moins 183 moins 61ℎ.

Maintenant, puisque diviser par ℎ revient à multiplier par un sur ℎ, nous pouvons réécrire notre dénominateur comme 21ℎ fois trois plus ℎ. Nous constatons ensuite que 183 moins 183 est zéro. Et nous voyons également que nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur de notre fraction par ℎ. Cela nous laisse avec la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 18ℎ plus 108 moins 61 sur 21 fois trois plus ℎ. Et le numérateur ici se simplifie davantage en 18ℎ plus 47. À ce stade, nous sommes maintenant prêts à replacer directement pour calculer notre limite. En remplaçant ℎ par zéro nous constatons que 𝑓 prime de trois est 18 fois zéro plus 47. C’est juste 47 sur 21 fois trois plus zéro. Le dénominateur vaut donc 63.

Et nous avons trouvé que le taux de variation de notre fonction en 𝑥 égale à trois est de 47 sur 63.

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