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Vidéo de question : Définir la similitude des polygones Mathématiques

Laquelle des affirmations suivantes définit la similitude des polygones ? [A] Deux polygones sont dits semblables si leurs angles homologues ont la même mesure et leurs côtés homologues ont des longueurs qui sont dans le même rapport. [B] Deux polygones sont dits semblables si leurs angles homologues sont égaux. [C] Deux polygones sont dits semblables si leurs côtés homologues sont égaux. [D] Deux polygones sont dits semblables si leurs côtés homologues sont superposables. [E] Deux polygones sont dits semblables si leurs angles homologues sont complémentaires et leurs côtés homologues sont égaux.

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Transcription de vidéo

Laquelle des affirmations suivantes définit la similitude des polygones ? L'option [A] deux polygones sont dits semblables si leurs angles homologues ont la même mesure et leurs côtés homologues ont des longueurs qui sont dans le même rapport. L'option [B] deux polygones sont dits semblables si leurs angles homologues sont égaux. L'option [C] deux polygones sont dits semblables si leurs côtés homologues sont égaux. L'option [D] deux polygones sont dits semblables si leurs côtés homologues sont superposables. L'option [E] deux polygones sont dits semblables si leurs angles homologues sont complémentaires et leurs côtés homologues sont égaux.

Donc, pour commencer, examinons quelques paires de polygones qui peuvent être considérés comme semblables. Ainsi, par exemple, nous avons deux carrés qui sont semblables, et ici nous avons deux triangles semblables. La chose importante à retenir est qu’il y a deux mots différents, similaire et superposable. Les polygones superposables ont exactement la même forme et la même taille, mais les polygones semblables peuvent avoir des tailles différentes.

Alors, comment on définit exactement les polygones semblables ? Commençons par examiner les deux carrés. Supposons que nous essayons de créer une autre forme, un autre carré semblable au plus petit carré d'origine. Si le critère des polygones semblables est que les angles correspondants doivent être égaux, alors nous pourrions théoriquement créer une autre forme comme celle-ci, qui pourrai être un rectangle. Nous aurions pu construire ce rectangle si la seule exigence était que les angles correspondants soient égaux, mais nous savons que ce n'est pas le cas. Le rectangle et le carré ne peuvent pas être semblables. C'est ce qui est indiqué dans l’option (A). Par conséquent, cette définition est erronée.

Ensuite, examinons les alternatives proposées dans les options (B) et (C) concernant l'exigence que les côtés correspondants soient égaux ou superposables. En utilisant ce petit carré comme modèle, voyons si nous pouvons créer une forme semblable en dessinant une forme ayant des cotés égaux à ceux du petit carré. Et là, nous en avons dessiné une. Mais, bien sûr, celle-ci est un losange, et nous savons tous qu'un losange n'est pas semblable à un carré. Par conséquent, nous pouvons exclure les options (B) et (C).

Examinons donc l'option (D). Cette option affirme que deux polygones sont semblables si leurs angles correspondants sont égaux et leurs côtés correspondants sont proportionnels. En effet, c'est exactement ce que montrent les deux dessins. Tous les angles correspondants dans les carrés sont égaux ; ils mesurent tous 90 degrés. De plus, les côtés correspondants doivent être proportionnels. Dans ces carrés en fait, le plus grand carré a des côtés qui sont tous deux fois plus longs que les côtés correspondants du plus petit carré.

Dans les deux triangles, les mesures des angles correspondants sont égales. Et si nous appelons les côtés du petit triangle a, b et c, chaque côté du grand triangle est trois fois plus long que le côté correspondant du petit triangle. Ainsi, ces côtés mesurent trois a, trois b et trois c unités de longueur. La définition correcte des polygones semblables sera donc la solution donnée dans l'option (D).

Mais examinons la dernière option (E). Selon cette option, les polygones sont semblables si leurs angles sont complémentaires et leurs côtés sont égaux. Cela semble être une définition mathématique raisonnable, mais rappelons ce que sont les angles complémentaires. Les angles complémentaires sont des angles dont la somme est égale à 90 degrés. Prenons, par exemple, ce triangle équilatéral avec trois angles de 60 degrés. Si l'option (E) est une définition vraie, alors pour tenter de créer un triangle semblable, il faudrait trois angles de 30 degrés puisque 30 degrés s'ajoutent à 60 degrés pour donner 90 degrés.

Mais bien sûr, nous ne pouvons pas créer un triangle avec trois angles de 30 degrés puisque la somme des angles dans un triangle doit être de 180 degrés. Même si nous essayons d'appliquer cette règle à un carré avec quatre angles de 90 degrés, si les angles de la forme semblable doivent être complémentaires, nous tenterions de créer un carré avec quatre angles de zéro degré. Par conséquent, nous pouvons éliminer l’option (E). Il en résulte que deux polygones sont dits semblables si leurs angles respectifs sont égaux et si leurs côtés correspondants sont proportionnels.

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