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Vidéo question :: Utiliser un arbre pondéré pour calculer une probabilité conditionnelle Mathématiques • Troisième secondaire

Deux cartes sont tirées dans un paquet ordinaire de 52 cartes sans remise. Déterminez la probabilité que la deuxième carte soit un roi sachant que la première carte est un roi.

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Transcription de la vidéo

Deux cartes sont tirées dans un paquet ordinaire de 52 cartes sans remise. Déterminez la probabilité que la deuxième carte soit un roi sachant que la première carte est un roi.

Puisque cette question concerne deux événements, à savoir le tirage de deux cartes d'un jeu, il peut être utile d'utiliser un arbre pondéré pour illustrer la situation. On nous donne des informations sur le fait que la première carte soit un roi ou non et on nous demande de trouver la probabilité que la deuxième carte soit un roi. Nous allons donc utiliser les issues roi et non roi pour l'arbre pondéré.

La première carte peut être un roi ou ne pas l'être. Nous avons ensuite les deux mêmes issues pour la deuxième carte. On doit ensuite trouver les probabilités pour chaque branche de l'arbre. Il est utile à ce stade de rappeler qu'un jeu de cartes ordinaire contient 52 cartes, dont quatre rois. La probabilité que la première carte soit un roi est donc de quatre sur 52, et la probabilité que la première carte ne soit pas un roi est de 48 sur 52. On remarque que, bien que ces probabilités puissent être simplifiées, nous les conserverons avec des dénominateurs de 52, car cela nous aidera à calculer les probabilités pour la deuxième carte.

On nous dit dans la question que les deux cartes sont choisies sans remise. Cela signifie que le résultat du choix de la deuxième carte dépend du résultat du choix de la première. Il faut donc tenir compte de l'issue du premier événement pour calculer la probabilité du deuxième. Puisqu'une carte a été tirée des cartes et n'a pas été remise, il reste maintenant 51 cartes. On peut donc écrire les probabilités de la deuxième carte sous forme de fractions dont le dénominateur est 51.

Si la première carte était un roi, il ne reste plus que trois rois dans le jeu. La probabilité que la deuxième carte soit un roi dans ce cas est donc de trois sur 51. Les 48 cartes qui ne sont pas des rois restent dans le paquet. La probabilité que la deuxième carte ne soit pas un roi si la première était un roi est donc de 48 sur 51. Cependant, si la première carte n'était pas un roi, les quatre rois restent dans le paquet. La probabilité que la deuxième carte soit un roi si la première ne l'était pas est donc de quatre sur 51. En effet, le nombre de cartes qui ne sont pas des rois a diminué de un. La probabilité que la deuxième carte ne soit pas un roi si la première ne l'était pas non plus est donc de 47 sur 51.

Remarquez que la somme des probabilités de chaque ensemble de branches de l'arbre pondéré est égale à un. Nous allons maintenant utiliser notre arbre pondéré pour répondre à la question, à savoir trouver la probabilité que la deuxième carte soit un roi si la première carte est un roi. Cette probabilité conditionnelle peut être trouvée sur le deuxième ensemble de branches de l'arbre pondéré. Si la première carte est un roi, la probabilité que la deuxième carte soit également un roi est de trois sur 51. On peut exprimer cette probabilité en utilisant la notation de probabilité conditionnelle avec un trait vertical.

Ainsi, en dessinant un arbre pondéré, nous avons trouvé que lorsque deux cartes sont tirées d'un jeu ordinaire sans remise, la probabilité que la deuxième carte soit un roi étant donné que la première est un roi est de trois sur 51.

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