Vidéo question :: Discuter de l’existence de la limite d’une fonction définie par morceaux en un point donné Mathématiques

Transcription de la vidéo

Calculez, si elle existe, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un pour 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins quatre si 𝑥 est inférieur à moins un, et 𝑓 de 𝑥 est égal à 20 si 𝑥 est supérieur à moins un.

La question nous demande de discuter de l’existence de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un. Nous savons que pour toute fonction 𝑔 de 𝑥, la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe si la limite à gauche et la limite à droite existent et sont égales. Dans notre cas, nous testons la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de moins un. Nous pouvons donc ajouter cette information dans notre définition ici. Cela signifie qu’il y a trois parties pour vérifier l’existence de la limite dans notre question.

Premièrement, nous devons vérifier que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de moins un à droite existe. Deuxièmement, nous devons vérifier que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de celle de gauche existe. Troisièmement, nous devons vérifier que si ces deux limites existent, elles sont égales. Nous allons donc devoir vérifier la limite à gauche et la limite à droite. Nous commencerons par la limite lorsque 𝑥 tend vers moins un par la droite.

Puisque 𝑥 s’approche de moins un par la droite, nous devons avoir 𝑥 est plus grand que moins un. Nous savons également que si deux fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 sont égales pour 𝑥 supérieur à 𝑎, alors leurs limites à droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 doivent être égales. De la question, nous avons que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 20 lorsque 𝑥 est supérieur à moins un. Par conséquent, puisque 𝑓 de 𝑥 est égal à 20 lorsque 𝑥 est supérieur à moins un, nous pouvons remplacer 𝑓 de 𝑥 dans notre limite à droite par 20. Nous savons également que pour toute constante 𝑘, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la constante 𝑘 est juste égale à 𝑘. Par conséquent, nous pouvons calculer que la limite lorsque 𝑥 s’approche de moins un de 20 est juste 20.

Nous pouvons maintenant utiliser une méthode similaire pour calculer la limite à gauche. Nous allons commencer par reformuler notre règle. Si deux fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 concordent partout, où 𝑥 est inférieur à 𝑎, alors la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par la gauche doit être égale à la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par la gauche. Puisque 𝑥 tend vers moins un par la gauche, il faut que 𝑥 soit inférieur à moins un. A partir de la question, nous pouvons voir que lorsque 𝑥 est inférieur à moins un, nous devons avoir 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins quatre. Ainsi, en utilisant notre règle, nous pouvons réécrire notre limite à gauche comme la limite de 𝑥 moins quatre lorsque 𝑥 approche de moins un par la gauche.

Nous savons que nous pouvons calculer la limite d’une fonction polynomiale 𝑓 en utilisant la substitution directe. Dans notre cas, nous voulons trouver la limite de 𝑥 moins quatre que nous savons être un polynôme. Nous pouvons donc utiliser la substitution directe pour trouver la limite de 𝑥 moins quatre lorsque 𝑥 tend vers moins un. Nous substituons donc notre valeur de moins un dans la fonction pour obtenir moins un moins quatre. Nous pouvons alors calculer ceci et cela donne moins cinq. Puisque la limite à gauche doit être égale à la limite, nous devons avoir la limite de 𝑥 moins quatre lorsque 𝑥 tend vers moins un égale à moins cinq. Il est intéressant ici d’esquisser un graphique de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Faisons donc un peu d’espace.

Lorsque 𝑥 est supérieur à moins un, nous avons 𝑓 de 𝑥 est égal à 20. Ainsi, cela nous donne la droite 𝑦 est égal à 20 pour 𝑥 est supérieur à moins un. Lorsque 𝑥 est inférieur à moins un, nous avons 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 moins quatre. Nous dessinons donc la droite 𝑦 égale 𝑥 moins quatre. Seulement, nous limitons le domaine à 𝑥 inférieur à moins un. Nous pouvons donc voir que notre fonction 𝑓 de 𝑥 n’a pas de résultat lorsque 𝑥 égale moins un. Nous pouvons également voir les deux limites que nous avons calculées sur notre graphique. Nous pouvons voir que lorsque 𝑥 tend vers moins un par la gauche, nous nous rapprochons de plus en plus de notre valeur de sortie de moins cinq. Nous pouvons voir que lorsque 𝑥 tend vers moins un par la droite, nous restons à une valeur constante de 20.

De nos calculs, nous pouvons voir que la limite à gauche et la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un ne sont pas égales. Nous pouvons voir graphiquement que la limite à gauche et la limite à droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un ne sont pas égales. Par conséquent, nous pouvons conclure que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un n’existe pas. Ceci parce que la limite de gauche et la limite de droite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins un ne sont pas égales.