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Vidéo de question : Multiplication de trois matrices Mathématiques

Sachant que 𝐴 = [0, 3 et −2, 1 et 6, −1], 𝐵 = [−5, −6 et 1, 4], 𝐶 = [−3, 0 et 4, -2 ], a-t-on (𝐴𝐵) 𝐶 = 𝐴 (𝐵𝐶) ?

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Transcription de vidéo

Sachant que la matrice 𝐴 est égale à zéro, trois, moins deux, un, six, moins un, que la matrice 𝐵 est égale à moins cinq, moins six, un, quatre et que la matrice 𝐶 est égale à moins trois, zéro, quatre, moins deux, a-t-on 𝐴𝐵 multiplié par 𝐶 est égal à 𝐴 multiplié par 𝐵𝐶 ?

Commençons par considérer 𝐴𝐵 multiplié par 𝐶, où nous devons d’abord calculer la matrice 𝐴𝐵. Lors de la multiplication de deux matrices, nous devons nous assurer que le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la deuxième matrice. Tant que c’est le cas, nous multiplions ensuite les éléments de chaque ligne de la première matrice par les éléments de chaque colonne de la deuxième matrice. Nous ajoutons ensuite les produits. L’élément en haut à gauche de la matrice 𝐴𝐵 est donc égal à zéro multiplié par moins cinq plus trois multiplié par un. Pour l’élément en haut à droite, nous multiplions la première ligne de la matrice 𝐴 par la deuxième colonne de la matrice 𝐵. Nous avons zéro multiplié par moins six plus trois multiplié par quatre.

Nous répétons ensuite cela pour la deuxième ligne de la matrice 𝐴. Enfin, nous multiplions la troisième ligne de la matrice 𝐴 par chacune des colonnes de la matrice 𝐵. Nous pouvons ensuite calculer chacun de ces résultats individuels. La matrice 𝐴𝐵 est donc égale à trois, 12, 11, 16, moins 31, moins 40. Notre prochaine étape est de multiplier cette matrice par la matrice 𝐶 moins trois, zéro, quatre, moins deux. Cela équivaut à la matrice trois par deux 39, moins 24, 31, moins 32, moins 67, 80.

Nous devons maintenant considérer le membre de droite de l’équation, 𝐴 multiplié par 𝐵𝐶. Nous commençons par calculer 𝐵 multiplié par 𝐶. Nous devons multiplier les matrices deux par deux moins cinq, moins six, un, quatre et moins trois, zéro, quatre, moins deux. Ceci est égal à la matrice deux par deux moins neuf, 12, 13, moins huit. Nous devons ensuite multiplier cette matrice par la matrice trois par deux zéro, trois, moins deux, un, six, moins un.

Comme la multiplication matricielle n’est pas commutative, l’ordre est important. La matrice 𝐴 doit venir en premier. La multiplication de ces deux matrices nous donne 39, moins 24, 31, moins 32, moins 67, 80. Nos deux matrices 𝐴𝐵 multiplié par 𝐶 et 𝐴 multiplié par 𝐵𝐶 sont identiques. Nous pouvons donc conclure après avoir multiplié les trois matrices, que l’affirmation est vraie.

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